ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
156
5.5. Общая схема построения графиков функций
Изучение заданной функции и построение ее графика целесообразно проводить в
следующем порядке.
1.
Найти область определения функции, область ее непрерывности и точки разрыва.
Вычислить значения функции или соответствующие пределы в граничных точках.
2.
Найти асимптоты.
3.
Выяснить, является ли функция четной, нечетной, и сделать вывод о симметрии ее
графика. Исследовать функцию на периодичность.
4.
Определить точки пересечения с осями координат, промежутки знакопостоянства.
5.
Определить экстремумы и интервалы возрастания и убывания функции (с помощью
первой производной).
6.
Определить интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции
(с помощью второй производной).
7.
Построить график функции.
8.
Найти множество значений функции.
Замечание. В некоторых случаях можно не находить интервалы знакопостоянства
функции, если решение неравенств
0)( xf и 0)(
xf затруднено.
Для уточнения графика можно определить координаты нескольких дополнительных
точек.
Пример 5.4.8. Провести полное исследование и построить график функции
.
)1(2
2
3
x
x
y
Решение.
1.
Область определения – вся числовая ось, кроме точки 1
x , в которой функция
терпит разрыв, т. е. );1()1;()(
yD .
На всей области определения функция непрерывна.
Граничные значения функции
,
)1(2
limlim
2
3
x
x
y
xx
.
)1(2
limlim
2
3
x
x
y
xx
2. Асимптоты:
а) вертикальные асимптоты
,
)1(2
lim)(lim
2
3
101
)1(
x
x
xf
x
xx
,
)1(2
lim)(lim
2
3
101
)1(
x
x
xf
x
xx
следовательно, прямая 1x является вертикальной асимптотой;
б) наклонные и горизонтальные асимптоты
,
2
1
2
lim
)1(2
lim
)(
lim
3
3
2
3
x
x
x
x
x
xf
k
xxx
.1
2
2
lim
)1(2
2
lim
)1(2
2
lim
2)1(2
lim))((lim
2
2
2
2
2
233
2
3
x
x
x
xx
x
xxxxx
x
x
kxxfb
xx
xxx
При
x
прямая 1
2
x
y является наклонной асимптотой.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 154
- 155
- 156
- 157
- 158
- …
- следующая ›
- последняя »
