Высшая математика. Анкилов А.В - 169 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

169
Если x и y
– декартовы координаты точки плоскости, то, перейдя на плоскости к
полярным координатам (
,
) и воспользовавшись связью
x = ρcos
, y = ρsin
,
получим тригонометрическую форму записи комплексного числа:
z =
(cos
+ isin
). (6.2)
При этом число
называют модулем комплексного числа,
|| z
, а число
– аргументом
комплексного числа,
Arg z = arg z+2k
=
 )2,0[arg
z
При решении задач для вычисления аргумента, в зависимости от четверти, в которой
расположена точка, соответствующая числу, удобно пользоваться схемой, приведенной
ниже:
)/(arctg xy
)/(arctg xy
)/(arctg xy
)/(arctg2 xy
Справедливы соотношения:
,
22
yxz
,tg)tg(Arg
x
y
z
.iy
x
z
Используя формулу Эйлера
sincos ie
i
,
получим показательную форму записи комплексного числа:
i
ez . (6.3)
Пример 6.1.1. От алгебраической формы записи комплексного числа iz 3 перейти
к тригонометрической и показательной формам записи комплексного числа.
Решение. Действительная и мнимая части комплексного числа равны
1Im,3Re zyzx .
Найдем модуль числа
213)1(3||
2
2
z
.
Так как 0,0 yx , то точка, соответствующая числу, лежит в четвертой четверти.
Найдем аргумент числа. В соответствии со схемой
6
11
6
2
3
1
arctg2)/arctg(2
xy .
Подставляя в (6.2) и (6.3) найденные значения модуля и аргумента комплексного числа,
получим тригонометрическую форму
6
11
sin
6
11
cos2)sin(cos
iiz
и показательную форму
6
11
2
i
i
eez
записи комплексного числа
iz 3.
Ответ:
6
11
sin
6
11
cos2
iz ,
6
11
2
i
ez .

Страницы