Высшая математика. Анкилов А.В - 171 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

171
В этом легко убедиться, используя формулы тригонометрии. Действительно,


.)sin()cos(
)sincossin(cos)sinsincos(cos)sinsin
sincossincoscos(cos)sin(cos)sin(cos
212121
122121212121
2
1221212122211121
irr
irri
iirririrzz
Деление комплексных чисел в тригонометрической форме определяется равенством, в
котором
модули комплексных чисел делятся, а аргументы вычитаются:

)sin()cos(
2121
2
1
2
1
i
r
r
z
z
.
Возведение в степень комплексного числа, записанного в тригонометрической форме
z = r(cos φ + i sin φ), определяется формулой Муавра:
z
n
= r
n
(cos nφ + i sin nφ), N
n . (6.4)
Пример 6.1.3. Вычислить

42
1 i
.
Решение. Обозначим
iz 1 . Представим число в тригонометрической форме.
Действительная и мнимая части комплексного числа равны 1Im,1Re
zyzx .
Найдем модуль числа
21111||
22
z
.
Так как 0,0 yx , то числу соответствует точка первой четверти. Найдем аргумент
числа. В соответствии со схемой
4/1arctg)/(arctg
xy
.
Подставляя найденные значения модуля и аргумента комплексного числа, получим
тригонометрическую форму записи
4
sin
4
cos2)sin(cos
iiz .
Используя формулу (6.4) и то, что функции
sin и
cos имеют период
2
T ,
получим

2
21
sin
2
21
cos2
4
42
sin
4
42
cos2
21
42
42
iiz

.2102
2
sin
2
cos2
2
25sin
2
25cos2
21212121
iiii
Здесь из числа
2
21
выделили 5 периодов и остаток
2
.
Ответ: .2)1(
2142
ii
Корень n-й степени из комплексного числа z имеет n различных комплексных значений
n
k
zz по формуле:
n
k
i
n
k
rz
n
k
2
sin
2
cos , k = 0,1,…,n – 1. (6.5)
Точки z
0
, z
1
, z
2
,…, z
k-1
расположены на окружности с центром в начале координат и
радиусом
n
r
в вершинах правильного n-угольника, вписанного в эту окружность.
Пример 6.1.4. Найти
6
1
.
Решение. Обозначим
1
z
. Представим число в тригонометрической форме.
Действительная и мнимая часть комплексного числа
z равны: 0Im,1Re
zyzx .

Страницы