Высшая математика. Анкилов А.В - 170 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

170
6.1.2. Операции над комплексными числами
Пусть заданы два комплексных числа z
1
= x
1
+ iy
1
и z
2
= x
2
+ iy
2
.
1. Сложение (вычитание) комплексных чисел: для того чтобы найти сумму (разность)
двух комплексных чисел, необходимо сложить (вычесть) соответственно их мнимые и
действительные части, т. е.
z
1
± z
2
= (x
1
± x
2
) + i(y
1
± y
2
).
Геометрически сложение (вычитание) комплексных чисел соответствует сложению
(вычитанию) представляющих их радиус-векторов (рис. 6.2).
Рис. 6.2. Сложение и вычитание комплексных чисел
2. Умножение комплексных чисел: умножение двух комплексных чисел производится
по правилам умножения многочленов с учетом того, что i
2
= –1, т. е.


2121212121212121
21
2
212121221121
yyxxiyyxxyyyixxyixx
yyiyixxyixxiyxiyxzz
.
Замечание. При умножении комплексно сопряженных чисел z и z получаем
действительное число:

2
22222
2
2
zyxyixiyxiyxiyxzz .
3. Деление комплексных чисел: при делении двух комплексных чисел числитель и
знаменатель умножаются на сопряженное знаменателю число
x
2
– iy
2
и затем отделяются
действительные и мнимые части, т. е.



.
2
2
2
2
2121
2
2
2
2
2121
2
2
2
2
21212121
2222
2211
22
11
2
1
yx
yxxy
i
yx
yyxx
yx
yxxyiyyxx
iyxiyx
iyxiyx
iyx
iyx
z
z
Пример 6.1.2. Пусть заданы два комплексных числа z
1
= 1 – 3i и z
2
= 2 + 5i. Найти
сумму
z
1
+ z
2
, разность z
1
– z
2
, произведение z
1
z
2
, частное z
1
/ z
2
.
Решение.
1.
z
1
+ z
2
= (1 – 3i) + (2+5i) = (1 + 2) + i(–3 + 5) = 3 + 2i;
2.
z
1
– z
2
= (1 – 3i) – (2+5i) = (1 – 2) + i(–3 – 5) = –1 – 8i;
3.
z
1
z
2
= (1 – 3i) · (2+5i) = 2 – 6i + 5i – i
2
15 = (2 + 15) + i(–6 + 5) = 17 – i;
4.


29
56152
254
15562
5252
5231
52
31
2
2
1
iiii
ii
ii
i
i
z
z
29
1113
i
.
29
11
29
13
i
Если комплексные числа записаны в тригонометрической форме
z
1
= r
1
(cos φ
1
+ i sin φ
1
)
и
z
2
= r
2
(cos φ
2
+ i sin φ
2
), то их умножение представляется равенством, в котором модули
комплексных чисел
перемножаются, а аргументы складываются:
.)sin()cos(
21212121
irrzz

Страницы