Высшая математика. Анкилов А.В - 174 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

174
Определение 6.2.2. Если 0)(
0
zQ
n
, то число
0
z называется корнем или нулем
многочлена )(zQ
n
.
Теорема 6.2.1. (Теорема Безу). При делении многочлена )(zQ
n
на разность
0
zz
получается остаток, равный )(
0
zQ
n
.
Следствие. Для того чтобы многочлен )(zQ
n
имел (действительный или комплексный)
корень
0
z , необходимо и достаточно, чтобы он делился на
0
zz
без остатка, т. е. чтобы его
можно было представить в виде произведения
)()()(
10
zQzzzQ
nn
(6.6)
для любых чисел
z
, где )(
1
zQ
n
– некоторый многочлен степени
)1(
n
.
Определение 6.2.3. Пусть
0
z есть корень многочлена )(zQ
n
, т. е. имеет место
представление (6.6). Если при этом 0)(
01
zQ
n
, то
0
z – простой корень многочлена )(zQ
n
.
Определение 6.2.4. В общем случае, если для некоторого натурального числа ns
имеет место
0)(),()()(
00
zQzQzzzQ
snsn
s
n
,
где )(zQ
sn
– многочлен степени
)( sn
, то говорят, что
0
z – корень кратности s
многочлена )(zQ
n
.
Теорема 6.2.2. (Основная теорема алгебры). Всякий многочлен n-й степени имеет, по
крайней мере, один корень, действительный или комплексный.
Следствие. Многочлен n-й степени )(zQ
n
со старшим не равным нулю коэффициентом
)0(
n
a имеет n корней с учетом их кратности, иначе говоря, )(zQ
n
представляется в виде
произведения
s
p
s
pp
nn
zzzzzzazQ )....()()()(
21
21
, (6.7)
где
s
zzz ,...,
21
– различные корни многочлена )(zQ
n
кратностей, соответственно
npppppp
ss
...;,...,
2121
.
Определение 6.2.5. Многочлен
)0()(
0
n
n
k
k
kn
azazQ
называется действительным,
если его коэффициенты
k
a – действительные числа.
Теорема 6.2.3. Если )0(
0
iz – есть комплексный корень s -й кратности
действительного многочлена )(zQ
n
, то
iz
0
есть тоже корень )(zQ
n
и той же
кратности, и тогда
)(])[()(
2
22
zQzzQ
sn
s
n
,
где )(
2
zQ
sn
– действительный многочлен степени sn 2
, не равный нулю при
0
zz
и
0
zz .
Следствие. Действительный многочлен )(zQ
n
со старшим коэффициентом 0
n
a
может быть представлен в виде произведения
s
r
ssrnn
zzczczazQ
])...[(])[()...()()(
222
1
2
11
11
,
где n
sr
)...(2...
11
;
r
ccc ,...,,
21
– действительные корни кратностей
соответственно
r
,...,,
21
; а
ss
ii
...,,
11
– попарно сопряженные комплексные
корни кратностей соответственно
s
,...,
1
.

Страницы