Высшая математика. Анкилов А.В - 182 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

182
Пример 7.1.6. Вычислить интеграл
xx
dx
22
cossin
.
Решение. Используя основное тригонометрическое тождество 1cossin
22
xx и
интегралы 11 и 12 табл. 7.1, получим


.ctgtg
sincos
sin
1
cos
1
cossin
cossin
cossin
22
2222
22
22
Cxx
x
dx
x
dx
dx
xx
dx
xx
xx
xx
dx
Ответ:
Cxx
ctgtg
.
Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен
Пусть подынтегральная функция представляет из себя дробь, в числителе которой
стоит единица, а в знаменателе квадратный трехчлен или корень квадратный из квадратного
трехчлена. Тогда, применяя формулы квадрат суммы
222
2)( bababa или разности
222
2)( bababa , интеграл сводится к табличным интегралам 1, 2, 7–10.
Пример 7.1.7. Вычислить интеграл
54
2
xx
dx
.
Решение. Выделим в знаменателе полный квадрат

442
2
4
2
2
2
xxxx .
Видим, что в выражении xx 4
2
до полного квадрата не хватает 4, поэтому раскладываем
145 . После чего применяем свойство (7.6) и интеграл 7 табл. 7.1, где в качестве u берем
2x .
Cx
x
dx
xx
dx
xx
dx
)2(arctg
1)2(14454
222
.
Ответ:
Cx
)2(arctg
.
Пример 7.1.8. Вычислить интеграл
86
2
xx
dx
.
Решение. Выделим в знаменателе полный квадрат

963
2
6
2
2
2
xxxx
.
Видим, что в выражении xx 6
2
до полного квадрата не хватает 9, поэтому раскладываем
198
. После чего применяем свойство (7.6) и интеграл 9 табл. 7.1, где
3 xu
.
Cxx
x
dx
xx
dx
xx
dx
1)3(3ln
1)3(19686
2
222
.
Ответ:
Cxxx 863ln
2
.
Метод подведения под знак дифференциала
Метод подведения под знак дифференциала в неопределенном интеграле заключается в
применении следующей цепочки тождеств:
)(
)()()]([)()]([
xUU
dUUfxdUxUfdxxUxUf
. (7.7)

Страницы