Высшая математика. Анкилов А.В - 184 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

184
Пример 7.1.12. Найти
.
sin3
cossin
2
x
xdxx
Решение. Заметим, что xxx cossin2)sin3(
2
и, следовательно, в подынтегральном
выражении для производной
)(xU
не хватает множителя 2
. Поэтому, умножая и деля его
одновременно на 2 , получаем
.sin3)sin3(25,0
)sin3()sin3(5,0
sin3
)sin3(
2
1
sin3
cossin
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
CxCx
xdx
x
dxx
x
xdxx

Ответ:
.sin3
2
Cx
Метод замены переменной
Метод подведения под знак дифференциала является частным случаем метода замены
переменной
или метода подстановки. Пусть требуется найти интеграл
.)(
dxxf
Сделаем замену переменной в подынтегральном выражении, положив )(
ugx , где
)(
ug – непрерывная функция с непрерывной производной, имеющая обратную функцию
)(
1
xgu
. Тогда duugdx )(
, и имеет место равенство:
,)()]([)(
)(
1
xgu
duugugfdxxf
(7.8)
то есть вычисление интеграла
dxxf )(
сводится к вычислению интеграла
duugugf )()]([
и
последующей подстановке новой переменной интегрирования. Формула (7.8) называется
формулой замены переменной в неопределенном интеграле. При этом предполагается, что
интеграл
duugugf )()]([ «ближе к табличному», чем исходный интеграл. В простых
случаях можно не вводить явно обозначение новой переменной интегрирования
u , что и
делается в методе подведения под знак дифференциала.
Замечание. В некоторых случаях удобнее делать замену переменной не в виде

ugx , а в виде
xu
.
Пример 7.1.13. Вычислить интеграл
xdxtg .
Решение.
.coslnln
cos
sin
sin
cos
cos
sin
tg CxCu
u
du
x
xdx
xdxdu
xu
x
xdx
xdx

Ответ:
.cosln Cx
Пример 7.1.14. Вычислить интеграл
dx
x
xx
2
1
2arcsin
.
Решение. Разделив почленно числитель на знаменатель и применив свойство (7.4),
запишем:

22222
1
2
1
arcsin
1
2
1
arcsin
1
2arcsin
x
xdx
x
dxx
dx
x
x
x
x
dx
x
xx
.

Страницы