Высшая математика. Анкилов А.В - 186 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

186
или
)()()()()()( xdUxVxVxUxdVxU . (7.9)
Последняя формула называется формулой интегрирования по частям.
Применение формулы (7.9) предполагает, что интегралы, стоящие в правой части,
«ближе к табличным», чем исходные интегралы.
При практическом использовании формулы (7.9) надо, прежде всего, установить, какая
функция в подынтегральном выражении принимается равной )(
xU и что отнести к )(xdV .
Затем по установленному выражению
)(xU надо дифференцированием найти )(xdU , а по
известному )(
xdV определить интегрированием функцию )(xV . Следует помнить, что в
состав )(
xdV должен обязательно входить дифференциал независимой переменной
x
.
Несколько частных случаев для наглядности занесем в таблицу:
Таблица 7.2
Частные случаи применения формулы интегрирования по частям
Интеграл
)(
xU )(xdV
1
dxexP
kx
n
)(
)(xPU
n
dxedV
kx
2
kxdxxP
n
sin)(
)(xPU
n
kxdxdV sin
3
kxdxxP
n
cos)(
)(xPU
n
dxkxdV cos
4
kxdxxP
n
arcsin)(
kxU arcsin
dxxPdV
n
)(
5
kxdxxP
n
arccos)(
kxU arccos
dxxPdV
n
)(
6
kxdxxP
n
arctg)(
kxU arctg
dxxPdV
n
)(
7
kxdxxP
n
arcctg)(
kxU arcctg
dxxPdV
n
)(
8
kxdxxP
m
an
log)(
kxU
m
a
log
dxxPdV
n
)(
9
kxdxxP
m
n
ln)(
kxU
m
ln
dxxPdV
n
)(
Здесь )(xP
n
– многочлен n-й степени.
Отметим, что формулу (7.9) можно применять неоднократно. В частности, для
интегралов 1 – 3 табл. 7.2 интегрирование по частям проводится ровно
n раз, т. е. какова
старшая степень многочлена )(
xP
n
; для интегралов 8, 9 – m раз, т. е. какова степень
логарифма; в интегралах 4 – 7 интегрирование по частям проводится однократно.
Пример 7.1.16. Найти
.
10
dxxe
x
Решение. Применим формулу (7.9), полагая .)(,)(
10
dxexdVxxU
x
Тогда
.)1,0(1,01,01,0
1,0)(
)(
,)(
101010
1010
1010
Cxedxeex
edxexV
dxexdV
dxdUxxU
dxxe
xxx
xx
xx
Ответ: .)1,0(1,0
10
Cxe
x
Замечание. При нахождении этого интеграла нецелесообразно брать
dxxxdVexU
x
)(,)(
10
(что формально можно делать), так как в этом случае получили бы
.
2
)(,10)(
2
10
x
xVdxexdU
x
Тогда по формуле (7.9)
.5
2
10210
2
10
dxexe
x
dxxe
xxx

Страницы