Высшая математика. Анкилов А.В - 185 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

185
К каждому интегралу применим метод замены переменной:

1
2
1
2
2
2
2
arcsin
2
1
1
arcsin
1
arcsin
C
x
C
u
duu
dx
x
du
xu
x
xdx
;
.122
1
2
1
2
1
1
2
2
2
22
1
2
1
2
1
2
2
CxCuC
u
duu
u
du
xdxdu
xu
x
xdx

В итоге имеем
Cx
x
dx
x
xx
2
2
2
12
2
arcsin
1
2arcsin
(в силу произвольности
1
C и
2
C записана одна общая произвольная постоянная
21
CCC
).
Ответ:

Cxx
2
2
12arcsin5,0.
Пример 7.1.15. Вычислить интеграл
dx
x
x
1
1
.
Решение. Сделаем замену
2
ux (ее цель – освободиться от иррациональности под
знаком интеграла). Тогда
ududx 2 и

du
u
uu
udu
u
u
dx
x
x
1
22
1
1
1
1
2
.
Получили интеграл от рациональной неправильной дроби (подробнее вычисление подобных
интегралов см. ниже п. 7.1.3).
Разделим числитель дроби на знаменатель уголком (выделим целую часть дроби)
2
22
2 _
2
1
2
2
u
u
u
u
uu
uu
1
2
2
1
2
u
u
u
uu
.
Следовательно,

1
222
1
2
22
1
2
2
u
du
duududu
u
udu
u
uu
Cuu
u
1ln22
2
2
2
=
= (вернемся к старой переменной
x
) = Cxxx 1ln44.
Ответ:
Cxxx 1ln44.
Метод интегрирования по частям
Метод интегрирования по частям принадлежит к числу основных методов
интегрирования.
Пусть
U и V – две дифференцируемые функции от
x
. Тогда дифференциал
произведения
UV вычисляется по следующей формуле:
VdUUdVUVd
)(.
Отсюда, интегрируя, получаем:

dUVUdVUV

Страницы