Высшая математика. Анкилов А.В - 183 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

183
Пусть интеграл
dUUf )(
является табличным или был найден раньше. Тогда, чтобы
проинтегрировать произведение )()]([ xUxUf
, где )]([ xUf – сложная функция с
промежуточной переменной )(xU , а )(xU
– производная функции )(xU , следует в
полученном выражении для интеграла
dUUf )(
заменить U на
)(xU
.
Замечание. Напомним, что если
xfy
– дифференцируемая функция аргумента
x
,
то дифференциал dy равен

dxxf
, т. е.
dxxfdy
.
При этом полезно учесть некоторые свойства дифференциала:
а)

axddx – под знаком дифференциала можно прибавлять любое число
a
;
б)

xaddxa
, или

axd
a
dx
1
– постоянный множитель можно вносить
(выносить) под знак (из под знака) дифференциала.
В общем случае преобразование дифференциала осуществляется по формуле
 
axddxx
, где выбор функции
x
и постоянной a определяется видом
подынтегрального выражения.
Например,
;3
32
axddxx

;arctg
1
2
axd
x
dx

axd
x
dx
arcsin
1
2
;

;2 axd
x
dx

;ln axd
x
dx
;
1
2
a
x
d
x
dx
axdxdx
cossin
и т. д.
Замечание. Свойство (7.6) легко доказать, используя равенство

baxd
a
dx
1
.
Пример 7.1.9. Вычислить интеграл
xdxx cossin
3
.
Решение. Так как

xdxdx sincos , то можно записать



xxdxdxdxxdxx sinsinsincoscossin
33
(интеграл 1 табл. 7.1) = C
x
4
sin
4
.
Ответ: Cx
4
sin25,0.
Пример 7.1.10. Вычислить интеграл
2
1
2
x
xdx
.
Решение. Так как
2
12 xdxdx , то



2
2
2
2
1
1
12
1
2
x
xd
xdxdx
x
xdx
(интеграл 2 табл. 7.1) =
Cx
2
1ln .
Ответ: Cx
2
1ln .
Пример 7.1.11. Найти
.26
2
xdxx
Решение. Заметим, что xx 2)6(
2
. Поэтому
,)6(626
222
dxxxxdxx
и можно подвести под знак дифференциала выражение )6(
2
x . Тогда используя интеграл 1
из табл. 7.1, получим
.)6(
3
2
)6()6()6(6
2
3
22
2
1
222
Cxxdxdxxx

Ответ: .)6(
3
2
2
3
2
Cx

Страницы