Высшая математика. Анкилов А.В - 187 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

187
Совершенно очевидно, что интеграл, стоящий в правой части, сложнее исходного.
Поэтому выбор
)(xU
и
)(xdV
не может быть произвольным.
Пример 7.1.17. Найти
.)21arcsin( dxx
Решение. Применим формулу (7.9), полагая )21arcsin()(
xxU
, dxxdV )(. Тогда
xxVdxdV
x
dx
dUxxU
dxx
)(,
)21(1
2
),21arcsin()(
)21arcsin(
2
dxxd
dxxxd
dx
x
x
xx
2)21(
)21(4))21(1(
)21(1
1)12(
)21arcsin(
2
2
22
2
)21(1
)21(
2
1
)21(1
))21(1(
4
1
)21arcsin(
x
xd
x
xd
xx
.)21arcsin(5,0)21(15,0)21arcsin(
2
Cxxxx
Ответ:
.)21(15,0)21arcsin()5,0(
2
Cxxx
Пример 7.1.18. Найти .ln
2
3
xdxx
Решение. Применим формулу (7.9), полагая
dxxdVxxU
3
2
,)(ln)(
. Интегрирование
по частям здесь придется применять уже дважды.

3
4
3
1
3
1
2
3
4
3
4
3
1
2
2
3
1
4
3
)(,
,ln)(
ln
2
3
ln
4
3
4
3
)(,
ln
2
,ln)(
ln
xxVdxxdV
x
dx
dUxxU
xdxxxx
xxVdxxdV
xdx
x
dUxxU
xdxx
dxxxxxx
3
1
3
4
2
3
4
4
3
ln
4
3
2
3
ln
4
3
.
32
27
ln
8
9
ln
4
3
3
4
3
4
2
3
4
Cxxxxx
Ответ: .
8
9
ln
2
3
ln
4
3
2
3
Cxxxx
В ряде случаев применение метода интегрирования по частям приводит снова к
первоначальному интегралу. При этом получается уравнение, из которого и находится
искомый интеграл (цикличное интегрирование).
Пример 7.1.19. Вычислить интеграл
xdxe
x
sin .
Решение. Воспользуемся формулой интегрирования по частям. Обозначим
dxedVxU
x
,sin . Получим
.cossin
,
cos,sin
sin
xdxexe
edxeVdxedV
xdxdUxU
xdxe
xx
xxx
x
Проинтегрируем по частям интеграл, получившийся в правой части
.sincos
,
sin,cos
cos
xdxexe
edxeVdxedV
xdxdUxU
xdxe
xx
xxx
x

Страницы