Высшая математика. Анкилов А.В - 189 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

189
Таким образом, исходную дробь можно представить в виде
.
58
276413
568
58
453
2
2
2
24
xx
x
xx
xx
xxx
Согласно (7.10), интегрирование рациональной дроби сводится к интегрированию
многочлена
)(xM
nm
и правильной дроби )(/)( xQxR
nr
. Интегрирование многочлена не
вызывает затруднений, а для того чтобы проинтегрировать дробь, ее следует разложить в
сумму простейших дробей. Это разложение осуществляется следующим образом.
Известно, что всякий многочлен )(
xQ
n
с действительными коэффициентами на
множестве действительных чисел может быть представлен в виде (см. п. 6.2)
,)(...)()(...)()(
2
11
2
1
11
s
t
ss
t
k
k
nn
qxpxqxpxxxaxQ
(7.11)
где
,...,
1
– действительные корни многочлена )(xQ
n
кратностей
kk ,...,
1
;
n
a –
коэффициент при старшей степени многочлена, а
);,1(04
2
sqp
nttkk
s
2...2...
11
; числа
s
ttkk ,...,,,...,
11
– целые неотрицательные. Имеет место
тождество
,
)(
...
...
)(
...
)(
)(
...
)(
...
)(
...
)(
)(
2
)()(
2
)(
1
)(
1
11
2
)1()1(
2
11
2
)1(
2
)1(
2
11
2
)1(
1
)1(
1
)(
2
)(
2
)(
1
1
)1(
1
)1(
1
1
11
1
1
s
ss
t
ss
s
t
s
t
ss
ss
t
tt
k
k
k
k
n
r
qxpx
NxM
qxpx
NxM
qxpx
NxM
qxpx
NxM
qxpx
NxM
x
A
x
A
x
A
x
A
x
A
xQ
xR
(7.12)
где ,...,...,,...,,...,,...,,...,
)1(
1
)1(
1
)()(
1
)1()1(
1
1
NMAAAA
kk
– действительные коэффициенты,
определяемые единственным образом.
Определение 7.1.5. Дроби следующих четырех типов:
x
A
)1 ;
k
x
A
)(
)2
;
qpxx
NMx
2
)3 ;
k
qpxx
NMx
)(
)4
2
; (7.13)
,...4,3,2,04
2
kqp
называют простейшими, или элементарными, а формула (7.12) называется разложением
правильной рациональной дроби на сумму простейших.
Таким образом, интегрирование дроби )(/)( xQxR
nr
сводится к интегрированию суммы
простейших дробей четырех типов. При этом неизвестные коэффициенты
,...,...,,...,,...,
)1(
1
)1(
1
)1()1(
1
1
NMAA
k
в разложении (7.12) можно найти методом неопределенных
коэффициентов, который состоит в следующем.
Выражение (7.12) является тождеством. Поэтому, если привести все дроби, стоящие в
правой части, к общему знаменателю )(xQ
n
, то в числителе получим многочлен,
тождественно равный многочлену
)(xR
r
. Приравняв коэффициенты при одинаковых
степенях х в этих многочленах, получим систему n линейных относительно неизвестных
буквенных коэффициентов уравнений. Эта система совместна и имеет единственное
решение в силу существования и единственности разложения (7.12). Иногда эти же
коэффициенты проще получить, полагая в многочленах слева и справа х последовательно
равным корням многочлена )(xQ
n
.

Страницы