Высшая математика. Анкилов А.В - 190 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

190
После того как найдены коэффициенты в разложении (7.12), выполняется
последовательное интегрирование полученных простейших дробей. Дроби первого и второго
типов в (7.13) интегрируются по формулам:
Cx
k
A
dx
x
A
CxAdx
x
A
k
k
1
)(
1)(
,ln
. (7.14)
Интегралы от дробей третьего и четвертого типов в (7.13) с помощью подстановки t=x+p/2
приводятся к интегралу следующего вида:
kkk
mt
dt
L
mt
tdt
Mdt
mt
LMt
)()()(
222222
, (7.15)
где ,...2,1,
4
,
2
2
2
k
p
qm
Mp
NL
Далее интеграл
k
mt
dtt
)(
22
сводится к табличному интегралу подстановкой z=t
2
+m
2
, а
интеграл
,...3,2,
)(
22
k
mt
dt
J
k
k
вычисляется с помощью рекуррентной формулы
,
)1(2
32
))(1(2
1
21222
k
k
k
J
km
k
mtkm
t
J
.arctg
1
22
1
C
m
t
mmt
dt
J (7.16)
Пример 7.1.21. Найти .
)2)(1(
452
2
2
dx
xx
xx
Решение. Подынтегральная функция представляет собой правильную рациональную
дробь. В соответствии с формулой (7.12) разложение исходной дроби на простейшие имеет
вид
.
)2(21)2)(1(
452
22
2
x
C
x
B
x
A
xx
xx
При этом учитываем, что 1
1
и 2
2
– действительные корни многочлена
)(xQ
n
=(х–1)(х–2)
2
кратностей k
1
=1 и
k
2
=2 соответственно. Умножая обе части последнего
равенства на (х–1)(х–2)
2
, получаем
2х
2
– 5х + 4 = А(х – 2)
2
+ В(х – 1)(х – 2)+ С(х – 1),
или
2х
2
– 5х+ 4 = (А + В)х
2
+ (С – 4А – 3В)х+ (4А+ 2В – С). (7.17)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях тождества (7.17),
записываем систему для нахождения коэффициентов А, В и С:
,244
,345
,2
0
1
2
CBA
BAC
BA
x
x
x
решение которой: А=1, В=1, С=2.

Страницы