Высшая математика. Анкилов А.В - 191 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

191
Окончательно имеем
22
2
)2(
2
21)2)(1(
452
x
dx
x
dx
x
dx
dx
xx
xx
.
2
2
)2)(1(ln
2
2
2ln1ln C
x
xxC
x
xx
Ответ: .
2
2
)2)(1(ln C
x
xx
Пример 7.1.22. Найти dx
x
xxxx
4
245
1
3535
.
Решение. Подынтегральная функция – неправильная рациональная дробь. Поэтому
представим ее в виде суммы целой части и правильной дроби:
4
2
4
245
1
35
1
3535
x
x
x
x
xxxx
.
Тогда

4
2
2
4
2
4
245
1
3
2
5
1
)35(
1
3535
x
dxx
xx
x
dxx
dxxdx
x
xxxx
.
Рассмотрим отдельно последний интеграл. Подынтегральная функция является правильной
рациональной дробью. Заметим, что знаменатель )1()1()1(1
24
xxxx . Поэтому
данная дробь может быть представлена в виде
.
1111
24
2
x
NMx
x
B
x
A
x
x
После умножения обеих частей этого равенства на )1(
4
x получим
)1)(()1)(1()1)(1(
2222
xNMxxxBxxAx . (7.18)
Для определения неизвестных коэффициентов А, В, М, N применим сначала способ задания
частных значений x. При х=1 получаем из (7.18) 1 = 4А; соответственно при
1x имеем
B
41
. Откуда следует, что А = В =1/4. Теперь сравним коэффициенты в многочленах при х
3
в левой и правой частях равенства (7.18). В левую часть этого равенства х
3
не входит. Это
означает, что коэффициент при х
3
равен 0, а в правой части он равен А–В–М. Тогда получаем
.0,
4
1
4
1
0,0 MMMBA
Остается определить N. Дадим х значение 0. В левой части (7.18) получим 0, а в правой
А+В+N, и тогда
.5,0,
4
1
4
1
0,0 NNNBA
Заметим, что использование метода неопределенных коэффициентов в этом примере
привело бы к необходимости решения системы из четырех линейных уравнений.
Окончательно имеем
.arctg5,01ln25,01ln25,025,03
12
1
14
1
14
1
2
5
3
1
3535
2
2
2
4
245
Cxxxxx
x
dx
x
dx
x
dx
xxdx
x
xxxx
Ответ: .arctg5,01ln25,01ln25,025,03
2
Cxxxxx

Страницы