Высшая математика. Анкилов А.В - 192 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

192
7.1.4. Интегрирование тригонометрических выражений
1. Рассмотрим особенности интегрирования функций
)cos,(sin xxR
. Запись
)cos,(sin xxR означает рациональную функцию синуса и косинуса, т. е. над синусом,
косинусом и некоторыми константами производятся только операции сложения, вычитания,
умножения и деления.
Интегралы вида
dxxxR )cos,(sin (7.19)
приводятся к интегралу от рациональной функции нового аргумента z (или
рационализируются) подстановкой
,)2/(tg zx
(7.20)
которая называется универсальной тригонометрической подстановкой. При этой
подстановке
2
1
2
,arctg2
z
dz
dxzx
,
2
2
2
1
1
cos,
1
2
sin
z
z
x
z
z
x
(7.21)
и тогда
,
1
2
1
1
,
1
2
)cos,(sin
22
2
2
z
dz
z
z
z
z
RdxxxR

(7.22)
где подынтегральная функция в правой части рационально зависит от z.
Название универсальной подстановка (7.20) получила потому, что она во всех случаях
дает возможность проинтегрировать функцию
)cos,(sin xxR
. Однако, в ряде случаев ее
использование может привести к значительному усложнению процедуры интегрирования по
сравнению с другими неуниверсальными подстановками. Укажем три таких подстановки,
которые могут быть использованы при вычислении интегралов.
а) Если
)cos,(sin xxR меняет знак при замене sinx на xsin
, т. е. если )cos,(sin xxR
нечетная функция от
xsin , то для рационализации используется подстановка
z
x
cos
. (7.23)
б) Если )cos,(sin xxR меняет знак при замене
x
cos на
x
cos
, т. е. если )cos,(sin xxR –
нечетная функция от cosx, то для рационализации используется подстановка
zx
sin . (7.24)
в) Если )cos,(sin xxR не изменяется при одновременной замене
xsin на xsin и
x
cos
на
x
cos , то для рационализации используется подстановка
tg x = z. (7.25)
Пример 7.1.23. Найти
)cos34(sin
)sin65(
xx
dxx
.
Решение. Применяем универсальную тригонометрическую подстановку:
z
x
2
tg .
Используя формулы (7.21), имеем
.
)7(
5125
1
2
1
1
34
1
2
1
12
5
)cos34(sin
)sin65(
2
2
2
2
2
2
2
dz
zz
zz
z
dz
z
z
z
z
z
z
xx
dxx

Страницы