Высшая математика. Анкилов А.В - 193 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

193
Разложим дробь, стоящую под интегралом, на простейшие:
22
2
7)7(
5125
z
CzB
z
A
zz
zz
,
отсюда
.12,
7
30
,
7
5
;)()7(5125
22
CBAzCBzzAzz
Поэтому
.
2
tg
7
1
arctg
7
12
7
2
tgln
7
15
2
tgln
7
5
7
arctg
7
12
)7ln(
7
15
ln
7
5
7
12
7
7
30
7
5
)7(
5125
2
2
222
2
C
xxx
C
z
zz
z
dz
z
zdz
z
dz
dz
zz
zz

Ответ: .
2
tg
7
1
arctg
7
12
7
2
tgln
7
15
2
tgln
7
5
2
C
xxx
Пример 7.1.24. Вычислить
x
xdx
2cos23
tg
2
.
Решение. Преобразуем подынтегральную функцию:
.
sin45
tg
sin2cos23
tg
2cos23
tg
2
2
22
22
x
x
xx
x
x
x
Числитель и знаменатель последней дроби не изменяются при замене
xx cos,sin
соответственно на xx cos,sin . Поэтому используем подстановку (7.25) и учтем, что
x=arctg z,
.
1
1
cos,
1
sin,
1
2
2
2
2
2
2
z
z
z
z
x
z
dz
dx
Поэтому

.
5
tg
arctg5tg
5
arctg
5
5
5
5
1
5
1
1
4
5
2cos23
tg
22
2
2
2
2
22
C
x
x
z
z
dz
zz
dzz
z
z
z
dzz
x
xdx
Ответ: .
5
tg
arctg
5
5
tg C
x
x
2. Рассмотрим теперь особенности нахождения интегралов вида
xdxxdx
nn 22
cos,sin (7.26)
и
,cossin
22
xdxx
nm
(7.27)
где m и n – целые положительные числа.
Из тригонометрии известно, что
.2sincossin2
),2cos1(5,0cos
),2cos1(5,0sin
2
2
xxx
xx
xx
Применение этих формул позволяет снизить степени в подынтегральных функциях
рассматриваемых интегралов и свести их к табличным.

Страницы