Высшая математика. Анкилов А.В - 195 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

195
Пример 7.1.27. Вычислить определенный интеграл

.
1
6
5
6
4
4
xxx
dxx
Решение. Имеем интеграл вида (7.28). Показатели степеней – рациональные дроби
4
1
,
6
1
,
6
5
, их наименьший общий знаменатель равен 12. Применим подстановку
12
tx . Тогда
12
11
,12 xtdttdx . Следовательно,


.ln126ln
2
12ln
2
12
1
112
1
12
)1(
)1(
12
)(
12)1(1
12
6
1212
2
12
2
23
1023
113
6
5
6
4
4
CxxxCxx
x
Ctt
t
dt
t
tdt
t
tt
tt
dtt
ttt
dttt
xxx
dxx
Ответ: .ln126
12
6
Cxxx
2. Интегралы вида
,,
22
dxxmxR
(7.30)
,,
22
dxxmxR
(7.31)
,,
22
dxmxxR
(7.32)
где
(...)R – рациональная функция своих аргументов, вычисляются с помощью
тригонометрических подстановок. Для вычисления интеграла (7.30) применяют подстановку
tmx sin . Интеграл (7.31) вычисляют с помощью подстановки tm
x
tg
. Для вычисления
интеграла (7.32) применяют подстановку tmx cos/
.
С помощью указанных подстановок интегралы (7.30) – (7.32) приводятся к интегралам
вида
dtttR )cos,(sin
, которые допускают применение метода рационализации, поэтому
соответствующие первообразные могут быть выражены через элементарные функции.
Пример 7.1.28. Вычислить интеграл

22
2
99 xx
dxx
.
Решение. Так как данный интеграл имеет вид (7.30), то применяя подстановку
3
arcsin,sin3
x
ttx , получаем

.
3
arcsin
9
3
arcsin
3
arcsintgtg
1
cos
1
cos
sin
cos3cos9
cos3)sin3(
99
2
22
2
2
2
22
2
C
x
x
x
C
xx
Ctt
dt
tt
tdt
tt
tdtt
xx
dxx

Страницы