Высшая математика. Анкилов А.В - 197 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

197
7.2. Определенный интеграл
7.2.1. Определенный интеграл как предел интегральных сумм
Определение 7.2.1. Пусть функция )(xf определена и ограничена на отрезке ];[ ba .
Разобьем произвольным образом этот отрезок точками bxxxa
n
...
10
на
n
частичных отрезков длиной
nixxx
iii
,1,
1
. Выберем в каждом из них произвольную
точку
iiii
xx
1
,. Тогда сумма вида
n
i
iin
xfS
1
)(
(7.33)
называется интегральной суммой функции )(xf на отрезке ];[ ba .
Определение 7.2.2. Если существует конечный предел J последовательности
интегральных сумм
n
S при условии, что длина наибольшего частичного отрезка
i
x
(диаметр разбиения) стремится к нулю, и при этом предел J не зависит ни от способа
разбиения отрезка ];[ ba на частичные отрезки ];[
1 ii
xx
, ни от выбора точек
i
на этих
отрезках, то этот предел называется определенным интегралом от функции
)(xf
в пределах
от а до b и обозначается символом
b
a
dxxf )(. Функция )(xf при этом называется
интегрируемой на отрезке
];[ ba .
Таким образом, по определению
n
i
ii
x
b
a
xfdxxf
i
1
0max
)(lim)(
. (7.34)
Функция )(xf называется подынтегральной
функцией, ];[ ba – отрезком интегрирования,
a и b – соответственно нижним и верхним
пределами интегрирования.
Геометрический смысл определенного
интеграла.
Если 0)( xf , то значение
интеграла
b
a
dxxf )( равно площади так
называемой криволинейной трапеции,
ограниченной прямыми
0,,
ybxax и
графиком функции )(xfy
(рис. 7.1).
Замечание 1. Отметим, что
определенный интеграл зависит только от вида функции )(xf и пределов интегрирования,
но не от переменной интегрирования, которую можно обозначить любой буквой.
Замечание 2. При введении понятия определенного интеграла
b
a
dxxf )( предполагали,
что
ba . В случае ab примем по определению
.)()(
a
b
b
a
dxxfdxxf (7.35)
Рис. 7.1. Геометрическое представление
определенного интеграла

Страницы