Высшая математика. Анкилов А.В - 199 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

199
7.2.3. Интеграл с переменным верхним пределом.
Формула Ньютона-Лейбница
Пусть функция )(xf интегрируема на отрезке ],[ ba . Для любого ],[ bax положим
x
a
dttfxФ )()(.
Эта функция называется интегралом с переменным верхним пределом.
Теорема 7.2.1. Если функция )(xf непрерывна на отрезке ],[ ba , то функция )(xФ
дифференцируема на этом отрезке и )()( xfxФ
.
Доказательство. Из свойства 3 следует, что
xx
x
x
a
xx
a
dttfdttfdttfxФxxФ )()()()()(.
Теперь воспользуемся свойством 6:
xcfdttf
xx
x
)()(,
где
c
заключено между
x
и
xx
. Следовательно,
)()(lim
)()(
lim)(
)(
00
xfcf
x
xФxxФ
xФ
xc
xx
,
т. к. )(xf – непрерывная функция.
Из этой теоремы следует формула
b
a
aFbFdxxf )()()(,
где )(xF – любая первообразная функции )(xf на ],[ ba .
Действительно, т. к. )(xФ тоже первообразная функции )(xf , то CxФxF )()(.
Следовательно, CCaФaF )()(, т. к. 0)()(
a
a
dttfaФ .
)()()()()()()()( aFbFdttfbФaFbФCbФbF
b
a
.
Таким образом,
если )(xF какая-нибудь первообразная от функция )(xf на ];[ ba , то
справедливо равенство
,)()()()(
b
a
b
a
xFaFbFdxxf
(7.39)
которое называется формулой Ньютона-Лейбница или основной формулой интегрального
исчисления. Ее целесообразно использовать для вычисления определенных интегралов в тех
случаях, когда известна или может быть найдена первообразная
)(xF
и вычисление ее
значений при
a
x
и bx не вызывает затруднений. Выражение, стоящее в правой части
этой формулы
b
a
xF |)(, называют двойной подстановкой.
Пример 7.2.1.
4
1
0
4
1
4
1
0
4
1
0
3
x
dxx .

Страницы