Высшая математика. Анкилов А.В - 200 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

200
Замечание. Формула Ньютона-Лейбница получена в предположении непрерывности
функции
)(xf
. Ее применение к случаю, когда функция
)(xf
имеет точки разрыва на
отрезке ],[ ba , может привести к ошибкам. Рассмотрим соответствующий пример неверного
использования этой формулы.
Пример 7.2.2. 211
1
1
1
1
1
2
x
x
dx
.
Получили, что интеграл от положительной функции
2
1
)(
x
xf
, для которой 0
x –
точка разрыва, отрицателен, что противоречит свойству 4 (вопрос об интегрируемости
функций, имеющих точки разрыва на отрезке интегрирования обсуждается в пункте 7.2.7). В
действительности же функция
2
1
x
не интегрируема на отрезке ]1,1[
.
7.2.4. Методы интегрирования
Метод подведения под знак дифференциала
Как и в неопределенном интеграле, метод подведения под знак дифференциала в
определенном интеграле заключается в применении следующего тождества:
)()]([)()]([ xdUxUfdxxUxUf
b
a
b
a
. (7.40)
Пример 7.2.3. Вычислить
2,0
0
2
.
251
5arcctg
dx
x
x
Решение. Заметим, что
,)251(5)5arcctg(
2
xx
и, следовательно, в
подынтегральном выражении для
)(xU
не хватает множителя 5
. Поэтому, умножая и деля
его одновременно на
5 , получаем
.1603)4/16/(1,0)0arcctg1arcctg(1,05arcctg1,0
)5arcctg(5arcctg
5
1
)5arcctg(5arcctg
5
1
251
5arcctg
22222
2,0
0
2
2,0
0
2,0
0
2,0
0
2
x
xdxdxxxdx
x
x
Здесь был использован интеграл 1 табл. 7.1.
Ответ:
.1603
2
Пример 7.2.4. Вычислить
1
1
2
.
32xx
xdx
J
Решение. Заметим, что )1(2)32(
2
xxx , поэтому представим
x
как 1)1(
x и с
учетом этого разобьем исходный интеграл на два следующих интеграла:
.
3232
)1(
1
1
2
1
1
2
xx
dx
xx
dxx
J
Найдем отдельно каждый из полученных интегралов. В первом интеграле для производной
)32()(
2
xxxU не хватает множителя 2. Поэтому, умножая и деля одновременно
подынтегральное выражение на 2 и учитывая интеграл 2 табл. 7.1, получаем

Страницы