Высшая математика. Анкилов А.В - 198 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

198
Замечание 3. В случае
ba
полагаем по определению, что для любой функции )(xf
имеет место
.0)(
dxxf
a
a
Это естественно с геометрической точки зрения. В самом деле, основание криволинейной
трапеции имеет длину, равную нулю, следовательно, и площадь этой криволинейной
трапеции равна нулю.
Достаточное условие существования определенного интеграла (интегрируемости
функции). Если функция )(xfy непрерывна на отрезке ],[ ba , то она интегрируема на
этом отрезке.
7.2.2. Основные свойства
Перечислим основные свойства определенного интеграла, которые будут использованы
в дальнейшем, предполагая, что функции
)(xf
и
)(xg
интегрируемы на соответствующих
отрезках:
1.
Определенный интеграл от алгебраической суммы интегрируемых функций равен
алгебраической сумме интегралов от этих функций, т. е.

.)()()()( dxxgdxxfdxxgxf
b
a
b
a
b
a

(7.36)
2. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т. е.
.,)()( constAdxxfAdxxAf
b
a
b
a
(7.37)
3. Для любых трех чисел cba ,, справедливо равенство
dxxfdxxfdxxf
c
a
b
c
b
a

)()()( . (7.38)
4. Если ba и )()( xgxf при всех ],[ bax
, то
,)()( dxxgdxxf
b
a
b
a
т. е. неравенства можно почленно интегрировать. В частности, если ba
и 0)( xf , то
.0)(
dxxf
b
a
5.
Если ba и функция ограничена сверху и снизу Mxfm
)( на отрезке ],[ ba , то
).()()( abMdxxfabm
b
a
6. Теорема о среднем: если функция )(xf непрерывна на отрезке ],[ ba , то найдется
точка ],[ bac такая, что
).)(()( abcfdxxf
b
a

Страницы