Высшая математика. Анкилов А.В - 201 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

201
.3ln32ln5,0
32
)32(
2
1
32
)1(
1
1
1
1
2
2
2
1
1
2
xx
xx
xxd
xx
dxx
Для нахождения второго интеграла выделим полный квадрат в знаменателе, т. е.
.2)1(21232
222
xxxxx Тогда, подводя под знак дифференциала )1(
x и
применяя интеграл 7 из табл. 7.1, получим
.2arctg
2
1
2
1
arctg
2
1
2)1(
)1(
32
1
1
1
1
2
1
1
2
x
x
xd
xx
dx
Окончательно имеем
.
2
2arctg
3ln J
Ответ:
.
2
2arctg
3ln
Метод замены переменной
В отличие от неопределенного интеграла при замене переменной в определенном
интеграле необходимо учесть пределы интегрирования для новой переменной
u , т. е.
,)()]([)(
duugugfdxxf
b
a
(7.41)
где )(),(),(
gbgaugx . Еще одной особенностью является то, что при замене
переменной в определенном интеграле к старой переменной не возвращаются.
Пример 7.2.5. Вычислить
3
0
2
2cos2
tg
x
xdx
.
Решение. Преобразуем подынтегральную функцию:
.
sin23
tg
sincos2
tg
2cos2
tg
2
2
22
22
x
x
xx
x
x
x
Используем подстановку (7.25) x=arctg u,
x
u tg
,
2
2
2
2
1
sin,
1 u
u
x
u
du
dx
.
Поэтому

.
4
131arctg33
3
arctg
3
3
3
3
1
3
1
1
2
3
2cos2
tg
3
0
3
0
2
3
0
2
2
3
0
2
2
2
2
3
0
2
u
u
du
uu
duu
u
u
u
duu
x
xdx
tg
tg
Ответ:
.
4
13
Метод интегрирования по частям
Для вычисления определенных интегралов используется следующая формула
интегрирования по частям:

Страницы