Высшая математика. Анкилов А.В - 203 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

203
.
3
1
3
0,22
1,1
1
1
0
3
0
1
1
0
2
2
1
22
1
0
2

t
dtttdtt
ttdtxdx
ttx
dxxxS
Ответ:
3/1 .
Заметим, что иногда вычисления упрощаются, если поменять ролями оси Ох и Оy;
тогда аргументом является y, а формула (7.43) принимает вид

d
c
dyygygS ,)()(
12
(7.44)
где

dycyygygygxygx
,,)()(),(),(
1221
– уравнения линий, ограничивающих
фигуру на рис. 7.3.
Пример 7.2.8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ,12
2
xy
01 yx .
Решение. Первая линия представляет собой параболу с осью симметрии Ох и вершиной
А(–
2
1
, 0), а вторая – прямую, имеющую с параболой две общие точки В(0,–1) и С(4,3)
(рис. 7.4). Форма фигуры не позволяет непосредственно, т. е. не разбивая ее на части,
применить формулу (7.43). Однако, если рассматривать фигуру относительно оси Оy, то
можно применить формулу (7.44). Здесь
,1)( ,
2
1
)(
2
2
1
yyg
y
yg поэтому согласно
формуле (7.44) будем иметь
.
3
16
6
5
2
9
2622
1
1
3
1
32
3
1
2
yy
y
y
dy
y
yS
Ответ:
.
3
16
2. Площадь фигуры, ограниченной кривой, имеющей параметрические уравнения
),(),( tyytxx прямыми bxax , и осью Ох, вычисляется по формуле
2
1
,)()(
t
t
dttxtyS (7.45)
где пределы интегрирования находятся из уравнений
btxatx
)(,)(
21
0)(( ty на отрезке
],[
21
tt ).
Пример 7.2.9. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными
уравнениями:
)2(,2,sin2,cos4
33
xxtytx .
Рис. 7.4. К примеру 7.2.8 Рис. 7.5. К примеру 7.2.9

Страницы