Высшая математика. Анкилов А.В - 205 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

205
3. Площадь фигуры, ограниченной графиком функции )(
rr
и двумя лучами
,, где
r
и
– полярные координаты, вычисляется по формуле
.)()2/1(
2
drS
(7.46)
Пример 7.2.11. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией
cos23 r .
Решение. Заметим, прежде всего, что линия, ограничивающая фигуру, симметрична
относительно полярной оси, так как )()(
rr
. Далее, учитывая
2 – периодичность
функции )(
r , достаточно рассмотреть ее на отрезке ],0[
. Поскольку полярный радиус
cos23 r
0, то
6/50
. Нетрудно видеть, что на этом отрезке функция
)(
r
монотонно убывает от
23)0( r
до
0)6/5(
r
(рис. 7.7). По формуле (7.46) с учетом
симметрии фигуры находим ее площадь


6/5
0
6/5
0
6/5
0
2
6/5
0
2
2sinsin3452cos22cos343
cos4cos343cos23
d
ddS
.
6
3925
2
3
32
6
25
Ответ:
6
3925
.
В более общем случае, когда фигура ограничена графиками функций

)()()(),(
1221
rrrrrr и лучами
,
, формула для вычисления ее площади
имеет вид
.))()((
2
1
2
1
2
2
drrS
(7.47)
Пример 7.2.12. Вычислить площадь фигуры,
ограниченной линиями:
).1(1,2sin2
rrr
Решение. Замечая, что функция
2sin2
rr имеет период Т=, рассмотрим
ее на отрезке . На отрезке
0,
4



функция
r возрастает от 0 до 2, на ,
42



убывает от 2
до 0. При
2
функция не определена, так
как полярный радиус r не может быть отрицательным. В полярной системе координат кривая
с уравнением )2/0(2sin2
r имеет форму лепестка (рис. 7.8). В силу
периодичности

r
, при изменении
от 0 до 2 получим два таких лепестка. Уравнение
1
r
определяет окружность радиуса 1, центр которой совпадает с полюсом. Таким образом,
фигура, площадь которой нужно найти, состоит из двух частей (на рис. 7.8 они
заштрихованы). Найдем площадь S
1
той ее части, которая расположена в 1 квадранте.
Рис. 7.8. К примеру 7.2.12

Страницы