Высшая математика. Анкилов А.В - 206 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

206
Пределы изменения полярного угла получим, решая совместно уравнения кривых: 1
r
,

2sin2r . Имеем: ,12sin2
2 ( 1) , ( 1) .
6122
kk
kk
k
k


  Отрезку 0,
2
принадлежат значения
.
12
5
212
,
12
10
Применяя формулу (7.47), получим

11
00
5
12
2
12
11 1sin413
(4sin 2 1) 2(1 cos 4 ) 1 .
22 22232
Sd d













Искомая площадь
6
332
2
3
3
2
1
SS .
Ответ:
6
332
.
Вычисление длин кривых
Длина
l
дуги гладкой плоской кривой вычисляется по следующим формулам:
1.
Если кривая задана уравнением )(xfy
, то
dxyl
b
a
2
)(1 , (7.48)
где a и b – абсциссы концов дуги, ba .
2.
Если кривая задана параметрическими уравнениями ),()(),(
21
ttttyytxx
то
dtyxl
t
t
2
1
22
)()( . (7.49)
3. Если )()(
rr – полярное уравнение кривой, то
drrl
22
)( . (7.50)
Пример 7.2.13. Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнением
.10,1arccos)2/1(
2
xxxxy
Решение. Найдем производную
.1
1
1
1
1
2
1
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
y
Применяя формулу (7.48), получим
4/,cos2
0,sin2
2)1(1
2
1
1
0
2
1
0
22
ttdtdx
ttx
dxxdxxl
.
4
2
2
1
42
2sin
)2cos1(cos2cos2
4/
0
4/
0
4/
0


t
tdtttdtt
Ответ:
4
2
.

Страницы