Высшая математика. Анкилов А.В - 204 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

204
Решение. Исключая параметр t, линию L:
ty
tx
3
3
sin2
cos4
можно представить уравнением
1)2/()4/(
3/23/2
yx , из которого следует, что линия L симметрична относительно осей
координат, кроме того,
2,4 yx (рис. 7.5). По условию 2x , поэтому фигура, площадь
которой нужно найти, расположена в правой полуплоскости и ограничена линией L и прямой
2x . Найдем пределы интегрирования:
;4/22/1cos2)(
11
3
1
tttx
.01cos4)(
22
3
2
tttx Учитывая симметрию фигуры относительно оси Ох, по
формуле (7.45) находим
.
4
43
3
1
4
3
3
2sin
4
4sin
3)2(sin2sin3
)4cos1(32sin2cos62sin62sin)2cos1(6
2sinsin12cossin48)sin(cos12sin22
4/
0
3
4/
0
2
4/
0
4/
0
2
4/
0
2
4/
0
2
2
4/
0
22
4/
0
42
0
4/
3
tt
tttd
dtttdttdtttdtt
tdtttdttdttttS
Ответ: 4/)43(
.
Пример 7.2.10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными
уравнениями:
)5,100(,5),cos1(5),sin(5
yxytyttx
.
Решение. Фигура ограничена горизонтальной прямой y = 5 и циклоидой L:
)cos1(5),sin(5 tyttx . Изменению х от 0 до 10 (при этом t меняется от 0 до 2)
соответствует одна арка циклоиды (рис. 7.6). Для концевых точек дуги АВ значения
параметра t найдем из уравнения 5)cos1(5)(
tty . Имеем
0cos t
, откуда
.2/3,2/
21
tt В соответствии с формулой (7.43) записываем:
b
a
dxyS )5(. Переходя к
переменной t, будем иметь
.
2
)4(25
2
2
25sin
4
2sin
2
25cos
2
2cos1
25
)cos1(cos25)cos1(5]5)cos1(5[)()5)((
2/3
2/
2/3
2/
2/3
2/
2/3
2/
2
1
t
tt
dtt
t
dtttdtttdttxtyS
t
t
Ответ:
2
)4(25
.
Рис. 7.6. К примеру 7.2.10 Рис. 7.7. К примеру 7.2.11

Страницы