Высшая математика. Анкилов А.В - 208 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

208
Вычисление объемов
Если площадь )(xS сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, является
функцией, непрерывной на отрезке [a,b], то объем тела вычисляется по формуле
.)( dxxSV
b
a
(7.51)
Выражение для функции )(xS достаточно просто получается в случае тел вращения. Так,
если криволинейная трапеция, ограниченная графиком непрерывной функции )(xfy
,
осью Ох и прямыми
bxax
, , вращается вокруг оси Ох, то объем соответствующего тела
вращения будет определяться формулой
.)(
2
dxxfV
b
a
x
(7.52)
По аналогичной формуле
dyygV
d
c
y
)(
2
(7.53)
вычисляется объем тела, полученного при вращении вокруг оси Оy криволинейной
трапеции, ограниченной графиком непрерывной функции )( ygx
осью Oy и прямыми
dycy ,
.
Пример 7.2.16. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
)0( 0 ,2/ ,14/
22
yzyzyx .
Решение. Данное тело – цилиндрический клин, в основании которого полуэллипс, а
наклонная плоскость проходит через малую ось эллипса (рис. 7.9). Сечение клина
плоскостью y=const представляет собой прямоугольник, площадь которого S=2hx.
Поскольку
2/44/1,2/
22
yyxyh , то 2/4)(
2
yyySS . Заменяя в
формуле (7.51) x на y, находим искомый объем тела
.
3
24
3
)4(
2
1
4
2
1
)(
2
0
2/32
2
0
2
2
0
y
dyyydyySV
Ответ:
3/24V
.
Пример 7.2.17. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
116/9/25/
222
zyx ,
2,0
zz
.
Решение. Тело ограничено однополостным гиперболоидом
116/9/25/
222
zyx и
горизонтальными плоскостями 2,0
zz (рис. 7.10).
Для вычисления его объема применим формулу (7.51), заменив в ней х на z.
Рис. 7.9. К п
р
име
ру
7.2.16 Рис. 7.10. К п
р
име
ру
7.2.17

Страницы