Высшая математика. Анкилов А.В - 209 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

209
Сечениями гиперболоида плоскостями z=const являются эллипсы, уравнения которых
имеют вид
1
)16/1(9)16/1(25
2
2
2
2
z
y
z
x
. (7.54)
Отсюда ясно, что полуоси эллиптического сечения (7.54) равны
22
16)4/3(и16)4/5( zbza . Известно, что площадь фигуры, ограниченной
эллипсом с полуосями a и b, вычисляется по формуле abS
, следовательно,
)16)(16/15()(
2
zzSS
. Теперь по формуле (7.51) находим
.
2
65
3
16
16
15
)16(
16
15
)(
2
0
3
2
0
2
2
0
z
zdzzdzzSV
Ответ: .2/65
Пример 7.2.18. Вычислить объемы тел, образованных вращением вокруг оси Ох и оси
Оy фигуры, ограниченной линиями )0(2,
2
xxyxy .
Решение. Из системы уравнений
xy
xy
2
2
найдем точку пересечения (1,1) данных
линий (рис. 7.11). Искомый объем V
x
есть разность двух объемов: объема
V
1
, полученного
вращением прямолинейной трапеции, ограниченной прямой
xy
2
, и объема V
2
,
полученного вращением криволинейной трапеции, ограниченной параболой
2
xy .
Применяя формулу (7.52), получаем
.
15
32
53
8
353
)2(
)2(
1
0
5
1
0
3
1
0
4
1
0
2
21
xx
dxxdxxVVV
x
Аналогично, пользуясь формулой (7.53), найдем объем тела, образованного вращением
фигуры вокруг оси Оy (рис. 7.12). Объем тела вращения
21
VVV
y
, где V
1
– объем тела,
полученного вращением криволинейной трапеции, ограниченной параболой
;10, yyx
2
V – объем тела, полученного вращением трапеции, ограниченной прямой .21,2
yyx
Таким образом, имеем
.
6
5
323
)2(
2
)2(
2
1
3
1
0
2
2
1
2
1
0
yy
dyydyyV
y
Ответ:
.6/5,15/32
yx
VV
Рис. 7.11. К примеру 7.2.18
(вращение вокруг Ох)
Рис. 7.12. К примеру 7.2.18
(вращение вокруг Оу)

Страницы