Высшая математика. Анкилов А.В - 210 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

210
7.2.6. Механические приложения определенного интеграла
Вычисление работы
Пусть под действием силы
F
материальная точка
M
движется по прямой
Ox
, причем
направление силы совпадает с направлением движения. Работа, произведенная
F
при
перемещении точки
M
из положения a
x
в положение bx
, вычисляется по формуле

b
a
dxxFA . (7.55)
Пример 7.2.19. Вычислить работу силы F при сжатии пружины на 5 см, если для
сжатия ее на 1 см нужна сила в 1 кг.
Решение. При сжатии пружины сила пропорциональна отклонению от положения
равновесия, т. е.
kxF
, где constk
. При 01,0
x м сила 1
F
кг, т. е.
xFkk 100,10001,01
.
Подставляя в формулу, получим
Дж125,0
2
100100
05,0
0
05,0
0
2
x
xdxA .
Ответ:
125,0A
Дж.
Пример 7.2.20. Определить работу (в джоулях), совершаемую при подъеме спутника с
поверхности Земли на высоту Н=700 км. Масса спутника m=8 тонн, радиус Земли
R=6380 км. Ускорение свободного падения g у поверхности Земли положить равным 10 м/с
2
.
Решение. Обозначим через F силу притяжения спутника Землей. Согласно закону
всемирного тяготения
2
/ rKmMF ,
где К – гравитационная постоянная; М – масса Земли; r – расстояние от спутника до центра
Земли. При r=R, то есть на поверхности Земли, имеем F=mg, поэтому mg=(KmM)/R
2
. Отсюда
находим KM=gR
2
и, следовательно, F=F(r)=(mgR
2
)/r
2
. Таким образом, искомая работа
согласно (7.55) равна

)./()/(1/1)(
21222
HRmgRHHRRmgRrmgRdrrmgRdrrFA
HR
R
HR
R
HR
R
Подставив числовые данные, будем иметь
10
3
333
105
10)7006380(
1070010638010108
A
Дж.
Ответ:
10
105 Дж.
Пример 7.2.21. Цилиндр наполнен газом под
атмосферным давлением (103,3 кПа). Считая газ
идеальным, определить работу (в джоулях) при
изотермическом сжатии газа поршнем,
переместившимся внутрь цилиндра на h=1 м. Длина
Н и радиус R цилиндра равны соответственно 1,4 м
и 0,2 м (рис. 7.13).
Решение. Пусть поршень находится на
расстоянии х, 0 х h, от правого
края цилиндра.
Сила, с которой сжатый газ давит на поршень, равна
Рис. 7.13. К примеру 7.2.21

Страницы