Высшая математика. Анкилов А.В - 212 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

212
Подставляя в третью формулу (7.56), получим
a
a
a
a
x
a
ax
dx
xa
a
dx
xa
a
xa
y
a
a
a
a
a
a
a
a
c
22
arcsin
2
22
22
22
.
Ответ: 0
c
x ,
a
y
c
2
.
2.
Центр тяжести плоской фигуры.
Пусть дана фигура, ограниченная линиями

bxaxxfyxfy
,,,
21
,
представляющая собой материальную плоскую фигуру. Пусть поверхностная плотность
const
. Тогда масса и координаты центра тяжести находятся по формулам
 

,
12
b
a
dxxfxfSm
 

 

 

 

 

b
a
b
a
c
b
a
b
a
c
dxxfxf
dxxfxfxfxf
y
dxxfxf
dxxfxfx
x
12
1212
12
12
2
1
,
,
где
S – площадь фигуры.
Пример 7.2.23. Определить координаты центра тяжести дуги параболы axy
2
,
осекаемой прямой
a
x
, с постоянной плотностью.
Решение. Так как фигура симметрична относительно оси
Ox
, а плотность постоянна, то
ордината центра тяжести 0
c
y . Найдем абсциссу
c
x . Фигура ограничена сверху дугой
параболы

axxf
2
, а снизу дугой
axxf
1
. Подставляя в формулу для
c
x , получим
a
a
a
xa
xa
dxax
dxaxx
x
a
a
a
a
c
5
3
3
4
5
4
3
2
2
5
2
2
2
2
2
3
0
2/3
0
2/5
0
0
.
Ответ:
0,
5
3
cc
yax
.
Вычисление моментов инерции материальной линии
Пусть кривая

baxxfy ,),( представляет собой материальную линию, линейная
плотность которой постоянна
const
. Если функция
xfy
и ее производная
xf
непрерывны на

ba, , то моменты инерции относительно осей координат и центра координат
вычисляются по формулам
 
b
a
x
dxxfxfI
2
2
1
,

b
a
y
dxxfxI
2
2
1
,



b
a
dxxfxfxI
2
22
0
1
.

Страницы