Высшая математика. Анкилов А.В - 213 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

213
Пример 7.2.24. Найти момент инерции тонкого однородного стержня длиной l
относительно его конца.
Решение. Совместим стержень с отрезком оси
Ox
:
lx
0
. В этом случае уравнение
стержня 0)( xf . Подставляя в формулу для
0
I , получим
3
3
0
2
0
l
dxxI
l
.
Если дана масса стержня
M
, то
l
M
и формула принимает вид
3
2
0
l
MI .
7.2.7. Несобственные интегралы
Несобственные интегралы являются обобщением понятия определенного интеграла на
следующие случаи:
а) областью интегрирования является не отрезок ],[ ba , а полупрямые ],(),,[ ba

или вся прямая ),(  ;
б) функция имеет точки разрыва 2-го рода, в окрестностях которых функция не
ограничена.
1.
Несобственные интегралы от непрерывных функций на бесконечном промежутке.
Пусть функция f(x) непрерывна на полупрямой ),[
a . Тогда для любого числа b, b>a,
функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и определенный интеграл
b
a
dxxf )( существует.
Будем рассматривать его как функцию верхнего предела b и перейдем к пределу при
b
. Положим



a
b
a
b
dxxfdxxf .)(lim)(
Стоящий в левой части этого
равенства интеграл называется
несобственным интегралом от
функции на промежутке ),[
a .
На рис. 7.14 в случае неотрицательной
функции f(x) проиллюстрировано
вычисление площади фигуры,
ограниченной снизу полупрямой
),[
a
, сверху графиком функции f(x)
и слева прямой x = a, как предела
площади криволинейной трапеции
aABb при
b .
Если

b
a
b
dxxf )(lim существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл

a
dxxf )( сходится. В противном случае (когда предел бесконечен или не существует)
говорят, что несобственный интеграл расходится.
Рис. 7.14. Геометрический смысл несобственного
интеграла на бесконечном промежутке

Страницы