Высшая математика. Анкилов А.В - 215 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

215
Если в правой части этого
равенства предел интеграла
b
a
dxxf )(
при
0
существует и конечен, то
говорят, что несобственный интеграл
b
a
dxxf )( сходится, в противном
случае – расходится.
Аналогично, для функции f(x),
непрерывной на полуинтервале (a, b] и
неограниченной в окрестности точки a,
определим несобственный интеграл
b
a
dxxf )( от функции f(x) на отрезке [a,b] согласно
равенству
b
a
b
a
dxxfdxxf
,)(lim)(
0
где
– произвольное положительное число такое, что ba
.
Если
b
a
dxxf
)(lim
0
существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл
b
a
dxxf )( сходится, в противном случае – расходится.
Пусть теперь функция f(x) непрерывна во всех точках отрезка [a, b], кроме внутренней
точки с, и неограниченна в окрестности этой точки. Тогда несобственный интеграл
b
a
dxxf )(
определим согласно равенству
b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf .)()()(
Несобственный интеграл
b
a
dxxf )( сходится, если сходится каждый из двух интегралов
в правой части этого равенства, и расходится в противном случае.
Пример 7.2.28. Проверить, что несобственный интеграл
1
0
x
dx
сходится при
10
и
расходится при
1
.
Решение. Функция
x
xf
1
)( непрерывна на полуинтервале (0,1] и
)(lim
0
xf
x
. По
определению
.lim
11
0
0
x
dx
x
dx
Пусть
10
, Тогда
,
1
1
11
1
lim
1
lim
1
0
1
1
0
1
0
x
x
dx
так как .01
Рис. 7.15. Геометрический смысл несобственного
интеграла от неограниченной функции

Страницы