ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
214
Аналогично вводится несобственный интеграл от функции f(x), непрерывной на
полупрямой
],( b
,
bb
a
a
dxxfdxxf )(lim)(,
и говорят, что он сходится, если этот предел существует и конечен, и расходится в
противном случае.
Несобственный интеграл от непрерывной функции на всей прямой ),(
определяется равенством
c
c
dxxfdxxfdxxf ,)()()(
где с – произвольная фиксированная точка. При этом говорят, что он сходится, если
сходится каждый из двух несобственных интегралов в правой части этого равенства, и
расходится, если хотя бы один из несобственных интегралов расходится.
Пример 7.2.25. Вычислить интеграл
0
dxe
x
.
Решение.
b
b
b
b
x
b
x
b
x
eedxedxe
0
0
0
,1]1[lim)(limlim
т. е. данный несобственный интеграл сходится и равен 1.
Ответ: 1.
Пример 7.2.26. Вычислить интеграл
0
cos xdx .
Решение.
00
0
,sinlim)(sinlimcoslimcos
b
b
b
bb
bxxdxxdx но b
b
sinlim
не существует.
Следовательно, данный несобственный интеграл расходится.
Ответ: расходится.
Пример 7.2.27. Вычислить интеграл
2
1 x
dx
.
Решение.
0
0
0
0
222
arctglimarctglim
1
lim
1
lim
1
a
b
b
b
a
aba
xx
x
dx
x
dx
x
dx
22
,
таким образом, данный несобственный интеграл сходится и равен
.
Ответ:
.
2.
Несобственные интегралы от неограниченных функций на конечном промежутке.
Пусть функция f(x) непрерывна на полуинтервале [a, b) и неограничена в окрестности
точки b. Тогда для любого положительного числа
такого, что
ba , функция f(x)
непрерывна на отрезке ],[
ba и, следовательно, интегрируема на нем. Несобственный
интеграл
b
a
dxxf )( определим как предел определенного интеграла
b
a
dxxf )( при стремлении
к 0 (рис. 7.15):
b
a
b
a
dxxfxf
.)(lim)(
0
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 212
- 213
- 214
- 215
- 216
- …
- следующая ›
- последняя »
