Высшая математика. Анкилов А.В - 216 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

216
Пусть
1
. Тогда
,
11
1
lim
1
lim
1
0
1
1
0
1
0

x
x
dx
так как .01
Пусть
1
. Тогда

.lnlimlnlim
0
1
0
1
0

x
x
dx
Следовательно, при 10
данный несобственный интеграл сходится, а при 1
расходится.
7.2.8. Приближенное вычисление определенных интегралов
В подавляющем большинстве практических задач первообразную )(xF либо нельзя
выразить в конечном аналитическом виде через элементарные функции, либо ее определение
приводит к громоздким вычислениям, либо точное решение нецелесообразно ввиду его
громоздкости. Кроме этого часто подынтегральная функция бывает задана графическим или
табличным способами, что делает невозможным применение формулы Ньютона-Лейбница.
В таких случаях следует использовать приближенное вычисление определенных интегралов
с помощью численных методов.
Существует большое количество методов численного интегрирования. Рассмотрим три
наиболее часто используемых метода: метод прямоугольников, метод трапеций и метод
Симпсона (парабол). Эти методы основаны на следующем: рассматривая интеграл как
площадь криволинейной трапеции, находят ее приближенное значение, т. е.
приближенное
значение интеграла, путем вычисления площади другой фигуры, ограничивающая линия
которой по возможности мало отклоняется от линии с уравнением
)(xfy
.
Вспомогательную линию при этом проводят так, чтобы получилась фигура, площадь
которой легко вычисляется.
Итак, пусть требуется вычислить определенный интеграл
b
a
dxxfI .)(
Если
0)( xf , то значение этого интеграла равно площади криволинейной трапеции,
ограниченной прямыми
0,,
ybxax и графиком функции )(xfy
.
Разделим отрезок интегрирования
],[ ba на n равных частей точками:
hnaxhaxhax
n
)1(...,,2,
121
, где
n
ab
h
– длина каждой части или шаг
интегрирования.
1. Метод прямоугольников
Заменим исходную криволинейную трапецию ступенчатой фигурой, состоящей из n
прямоугольников, опирающихся на частичные отрезки, причем высоты этих
прямоугольников равны значениям функции )(xfy
в начальных или конечных точках
частичных отрезков ),...,2,1(],[
1
nixx
ii
(рис. 7.16). Значение площади этой фигуры и будет
давать приближенное значение интеграла. Результат будет тем более точен, чем больше
число частичных отрезков разбиения.

Страницы