Высшая математика. Анкилов А.В - 218 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

218
Коэффициенты
r
q
p
,, выбираются так, чтобы значения обеих функций были равны при
210
и, xxx соответственно:
.
,
,
2
2
22
1
2
11
0
2
00
rqxpxy
rqxpxy
rqxpxy
(7.60)
Решая систему (7.60), находят коэффициенты
r
q
p
,,. Проведя подобные замены во всех
интервалах ],[],...,,[],,[
24220 nn
xxxxxx
(рис. 7.18), будем считать, что площадь исходной
трапеции приближенно равна сумме площадей получившихся параболических трапеций,
которые называются элементарными.
Покажем, что площадь S трапеции, ограниченной какой-нибудь параболой
rqxpxy
2
с осью, параллельной оси ординат, будет выражаться формулой
),4(
3
c кн
yyy
h
S (7.61)
где
н
y
– ордината начальной;
с
y
– ордината средней и
к
y
– ордината конечной точек дуги
параболы.
Предположим сначала, что основанием трапеции служит отрезок оси Ox,
симметричный относительно начала координат,
],[ hh
(рис. 7.19).
Для площади такой параболической трапеции имеем выражение:
h
h
rhphdxrqxpxS .2
3
2
)(
32
Так как здесь
,)(,)0(,)(
22
rqhphhyyryyrqhphhyy
ксн
то непосредственной подстановкой этих значений в формулу (7.61) убеждаемся в ее
справедливости. Эта формула справедлива для любой параболической трапеции
рассматриваемого вида с основанием 2h, т. к. всегда можно выбрать декартову систему
координат xOy, как показано на рис. 7.19, чтобы основание стало симметричным
относительно начала координат. Тогда, применяя формулу (7.61) для всех элементарных
параболических трапеций
и суммируя площади этих трапеций, получим формулу Симпсона
).4...2424(
3
143210 nnС
yyyyyyy
h
I
(7.62)
Во всех методах число точек разбиения произвольно, но чем больше это число, тем
точнее сумма в правой части равенств (7.57), (7.58), (7.59), (7.62) дает значение интеграла.
Рис. 7.19. Площадь параболической
трапеции

Страницы