Высшая математика. Анкилов А.В - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

24
1.5. Пространство арифметических векторов
Определение 1.5.1. Всякая упорядоченная совокупность из n действительных чисел
называется
арифметическим вектором и обозначается
),...,,(
21 n
xxx
x .
Числа
n
xxx ...,,,
21
называются компонентами арифметического вектора x .
Определение 1.5.2. Cуммой двух арифметических векторов ),...,,(
21 n
xxxx и
),...,,(
21 n
yyyy называется вектор
),,...,,(
2211 nn
yxyxyx
yx
а произведением арифметического вектора ),...,,(
21 n
xxx
x на любое число
называется
вектор
),...,,(
21 n
xxx
x .
Определение 1.5.3. Пространством арифметических векторов
n
R
называется
множество всех арифметических
n -компонентных векторов nixxxx
in
,1,),...,,(
21
Rx ,
с введенными выше операциями сложения и умножения на число.
Определение 1.5.4. Система арифметических векторов
s
xxx ...,,,
21
называется
линейно зависимой, если найдутся числа
s
,...,,
21
не равные одновременно нулю, такие,
что
0
ss
xxx
...
2211
(где 0)0,...,,0(
0 – нулевой вектор). В противном случае эта
система называется
линейно независимой.
Определение 1.5.5. Пусть Q – произвольное множество арифметических векторов.
Система векторов
s
eee ...,,,
21
Β называется базисом в Q , если выполнены следующие
условия:
1.
Qe
k
, sk ,..,2,1 .
2.
Система

s
eee ...,,,
21
Β линейно независима.
3.
Для любого вектора Qx найдутся числа
s
,...,,
21
такие, что
s
k
k
1
ex
k
– разложение вектора x по базису Β .
Коэффициенты
s
,...,,
21
однозначно определяются вектором
x
и называются
координатами этого вектора в базисе Β .
Теорема 1.5.1. Всякая система векторов
n
RQ имеет по крайней мере один базис. Все
базисы этой системы состоят из одинакового числа векторов, называемого
рангом системы
Q и обозначаемого Qrang или Qrg . Ранг всего пространства
n
R
равен n и называется
размерностью пространства.
Каноническим базисом
n
R
называется следующая система:



.1...,,0,0,0
.........................
,0...,,1,0,0
,0...,,0,1,0
,0...,,0,0,1
3
2
1
n
e
e
e
e

Страницы