Высшая математика. Анкилов А.В - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

27
Критерием совместности системы линейных уравнений служит
Теорема Кронекера-Капелли. Для того чтобы система линейных уравнений (1.12)
была совместной, необходимо и достаточно, чтобы
ArgrgA .
Замечание.
1. Если nArgrgA , где
n
– число неизвестных системы, то решение системы (1.12)
единственно.
2.
Если nArgrgA , то система (1.12) имеет бесчисленное множество решений.
Определение 1.6.7. Переменные, соответствующие базисным столбцам матрицы A
совместной системы уравнений, называются базисными, а остальные свободными.
Определение 1.6.8. Решение неопределенной системы уравнений, в котором базисные
переменные выражены через свободные, называется общим решением. Если подставить
численные значения свободных переменных, то получим частное решение.
Решение систем линейных уравнений можно находить:
по правилу Крамера;
матричным способом (с помощью обратной матрицы);
методом Гаусса.
1.6.2. Правило Крамера
Пусть задана система
n линейных уравнений с n неизвестными
....
......................................
,...
,...
2211
22222121
11212111
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
(1.13)
Если главный определитель системы (определитель главной матрицы системы
A
)
0det A , то система (1.13) имеет единственное решение, которое по правилу Крамера
определяется формулами
),,1(, nix
i
i
(1.14)
где
i
– определители, получающиеся из главного определителя
заменой i -го столбца
столбцом свободных членов.
Пример 1.6.1. Решить систему
52
,7623
,285
321
321
321
xxx
xxx
xxx
по правилу Крамера.
Решение. Вычислим главный определитель системы:
.0107)43()123(8)62(5
12
23
)1(1
12
63
)1(8
11
62
)1(5
112
623
185
432
Так как 0 , система линейных уравнений имеет единственное решение. Составим и
вычислим вспомогательные определители: определитель
1
получается из главного заменой
первого столбца столбцом свободных членов:

Страницы