Высшая математика. Анкилов А.В - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

32
.
1
2
1
41000
13130
11131
Из последней, ступенчатой матрицы видно, что 1, 2 и 4-й столбцы базисные, поэтому
421
,, xxx – базисные переменные, а остальные
53
, xx – свободные. Найдем общее решение,
т. е. выразим базисные переменные через свободные. Перенося свободные переменные в
правую часть, получим равносильную систему
.14
,233
,13
54
5342
53421
xx
xxxx
xxxxx
Положим
2513
, CxCx , где
21
, CC – произвольные действительные числа. Тогда

.3811451113
,
3
511
5112143233
,14
22122153421
21
2
212125342
24
CCCCCCxxxxx
CC
x
CCCCCxxxx
Cx
Таким образом, общее решение имеет вид
.,14,,
3
511
,38
252413
21
221
CxCxCx
CC
xCx
Ответ: .,14,,
3
511
,38
221
21
2
CCC
CC
C
1.6.5. Однородные системы линейных уравнений
Однородная система 0 XA всегда совместна, так как имеет тривиальное решение
0X .
Теорема 1.6.1. Для существования нетривиального решения однородной системы
необходимо и достаточно, чтобы nrgAr
(при nm
это условие означает, что 0det
A ).
Определение 1.6.9. Пусть Q – множество всех решений однородной системы. Всякий
базис в множестве Q состоит из (
r
n
) векторов
rn
eee
,...,,
21
. Соответствующая ему в
каноническом базисе (см. п. 1.5) система вектор-столбцов
rn
EEE
,...,,
21
называется
фундаментальной системой решений.
Общее решение однородной системы имеет вид
rnrn
ECECECX
...
2211
. (1.17)
Замечание. Базисные решения
rn
EEE
,...,,
21
можно получить, если свободным
неизвестным придавать поочередно значение 1, полагая остальные равным 0.

Страницы