Высшая математика. Анкилов А.В - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

35
Пример 1.7.1. Проверить, являются ли следующие множества линейными
пространствами:
а) множество
n
R
всех арифметических n -компонентных векторов ),...,,(
21 n
xxxx ,
nix
i
,1, R ;
б) множество
mn
M
,
всех матриц размера nm
;
в) множество всех геометрических векторов плоскости, исходящих из начала
координат, концы которых лежат на фиксированной прямой.
Решение.
а) На множестве
n
R
операции сложения элементов и умножения элемента на число
определены в п. 1.5 данного пособия.
Проверим выполнение свойств 1–8 из определения линейного пространства:
1.
xyyx
),...,,(),...,,(
22112211 nnnn
xyxyxyyxyxyx ;
2. ),...,,(
2211 nn
yxyxyx
yx ,
),...,,(
2211 nn
zyzyzy
zx ,
),,...,,()(
222111 nnn
zyxzyxzyx
zyx
),,...,,((
222111 nnn
zyxzyxzyx
z)yx
Таким образом,
).()( zyxzyx
3. Нуль – элементом является 0=(0,0,...,0). Действительно,
.)0,...,0,0(
21
xx
n
xxx0
4. Элемент ),...,,(
21 n
xxx
x является противоположным к элементу
),...,,(
21 n
xxxx , так как
),...,,()(
21 n
xxxxx .)0,...,0,0(),...,,(
21
0
n
xxx
5.
),...,,()(
2211 nn
yxyxyx
yx
),...,,(
2211 nn
yxyxyx
.),...,,(),...,,(
2121
yx
nn
yyyxxx
6.
))(,...,)(,)(()(
21 n
xxx
x
),...,,(
2211 nn
xxxxxx
xx
),...,,(),...,,(
2121 nn
xxxxxx .
7. .)(),...,,(),...,,()(
2121
xx




nn
xxxxxx
8. .),...,,()1,...,1,1(1
2121
xx
nn
xxxxxx
Таким образом, множество
n
R
является линейным пространством.
б) Рассмотрим множество
mn
M
,
всех матриц размера nm
( m – строк и n – столбцов).
Пусть
,,,
,nm
MBA
– некоторые действительные числа.
1.
Так как суммой двух матриц A и
B
размера nm
является матрица BAC
размера
nm , то на множестве
mn
M
,
определена операция сложения элементов.
2.
Произведением матрицы A размера
nm
на число
является матрица
AC
размера
nm , значит на множестве
mn
M
,
определена операция умножения элемента на
число.
3.
Операции сложения и умножения на число удовлетворяют свойствам 1–8 (см. п. 1.1).
Итак, множество
mn
M
,
является линейным пространством.
в) Рассмотрим множество Q всех геометрических векторов плоскости, исходящих из
начала координат, концы которых лежат на фиксированной прямой
l
:

Страницы