Высшая математика. Анкилов А.В - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

36
Рис. 1.2. Сумма векторов
Найдем сумму векторов
x
и
y
, принадлежащих этому множеству Q по правилу
параллелограмма. Так как конец вектора
y
x
не лежит на прямой l , то для
QyxQyx , . Следовательно, множество Q не является линейным пространством.
Определение 1.7.2. Векторы uz
y
x
,...,,, линейного пространства
L
называются
линейно зависимыми, если найдутся такие числа
,,...,,,
не равные нулю одновременно
и такие, что линейная комбинация этих векторов с коэффициентами
.... 0
uzyx
Если равенство
0
uzyx
... выполняется тогда и только тогда, когда
0...
, то векторы uz
y
x
,...,,, называются линейно независимыми.
Определение 1.7.3. Упорядоченная система векторов ),...,,(
21 n
lll называется базисом
линейного пространства
L
, если:
1.
Векторы
n
lll ,...,,
21
линейно независимы;
2.
Для любого Lx найдутся такие числа
n
xxx ,...,,
21
, что
ii
n
i
nn
xxxx llllx
1
2211
... (1.19)
Формула (1.19) называется разложением вектора x по базису ),...,,(
21 n
lll , а числа
n
xxx ,...,,
21
– координатами вектора x в указанном базисе.
Отметим, что в выбранном базисе координаты вектора
x
определяются однозначно.
Определение 1.7.4. Линейное пространство
L
, в котором существует базис из
n
векторов, называют n -мерным. Пространство, в котором можно найти сколь угодно много
линейно независимых векторов, называется бесконечномерным.
Пример 1.7.2. Доказать, что векторы ),...,0,...,0,1,0(),0,...,0,0,1(
21
ll )1,...,0,0,0(
n
l
образуют базис линейного пространства
n
R
.
Решение.
а) Докажем, что векторы
n
lll ,...,,
21
– линейно независимы.
Рассмотрим линейную комбинацию этих векторов с коэффициентами
n
,...,,
21
:
),0,...,0,0,0(),...,,(,),...,,(
)1,...0,0,0(...)0,...,0,1,0()0,...,0,0,1(...
2121
212211
nn
nnn
0
lll
.0
...........
,0
,0
2
1
n
Это означает, что
n
lll ,...,,
21
– линейно независимы.

Страницы