Высшая математика. Анкилов А.В - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

37
б) Любой вектор ),...,,(
21 n
xxxx пространства
n
R
можно представить в виде
)0,...,0,1,0()0,...,0,0,1(),...,,(
2121
xxxxx
n
x ....)1,...,0,0,0(...
2211 nnn
xxxx lll
Таким
образом, любой вектор
x
представим в виде линейной комбинации векторов
n
lll ,...,,
21
.
Итак, векторы
n
lll ,...,,
21
образуют базис пространства
n
R
. Этот базис называется
каноническим базисом в
n
R
. Размерность пространства
n
R
равна n .
1.8. Линейные операторы
Определение 1.8.1. Оператором (преобразованием) A линейного пространства
L
называется закон, по которому каждому элементу
x пространства
L
ставится в
соответствие некоторый элемент Ly .
Записывают это так: y
A
xLL ,:A или xy A
.
Определение 1.8.2. Оператор (преобразование) LL :A называется линейным, если
для любых векторов Lyx, и любого числа
выполняются условия:
1.
yxyx AAA
)(.
2.
.)( xx AA
Пример 1.8.1. Установить, какие из заданных операторов является линейными:
а) ),3,2,(
3213132
xxxxxxx
xA где
3
321
),,( Rx xxx ;
б)
),,1,(
2
321
xxx xB где ),,(
321
xxxx ;
с)
xx
C
, где
– фиксированное число, x – вектор линейного пространства.
Решение.
а) ),,(
321
xxxx ,
3
321
),,( Ry yyy , тогда
;;(
2211
yxyx
yx
).,,(),
32133
xxxyx
x
);()(2);()(()(
33113322
yxyxyxyx
yxA
))()()(3
332211
yxyxyx
)33;22;(
32132131313232
yyyxxxyyxxyyxx
.)3;2;()3;2;(
32131323213132
yx AA
yyyyyyyxxxxxxx
)3;2;()(
3213132
xxxxxxx
xA xA
)3;2;(
3213132
xxxxxxx .
Следовательно, A – линейный оператор.
б) ))(,1,()(
2
332211
yxyxyxyxB ).2,1,(
2
333
2
32211
yyxxyxyx
),1,(),1,(
2
321
2
321
yyyxxxyx BB ).,2;(
2
3
2
32211
yxyxyx
.)( yxyx
BBB
Оператор
B не является линейным.
с)
,)()( yxyxyxyx
C
C
C
,)()()()( xxxxx
C
C

C
– линейный оператор.
Ответ:
C
A, – линейные операторы, оператор B линейным не является.
Пусть в
n -мерном линейном пространстве
L
с базисом
n
lll ,...,,
21
задан линейный
оператор (преобразование)
A . Так как
n
lll AAA ,...,,
21
– векторы пространства
L
, то каждый
из них можно разложить единственным образом по векторам базиса
n
lll ,...,,
21
:

Страницы