Высшая математика. Анкилов А.В - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

42
,048
,048
21
21
xx
xx
т. е.
12
2xx . Пусть
21
cx , тогда
22
2cx
, следовательно,
.
2
1
22
2
2
2
1
1
2
c
c
c
x
x
X
В базисе, состоящем из собственных векторов
1
1
1
E и
2
1
2
E , матрица линейного
оператора
A имеет диагональный вид
130
01
A
.
1.9. Квадратичные формы
Определение 1.9.1. Квадратичной формой действительных переменных
n
xxx ,...,,
21
называется выражение вида


n
i
n
j
jiijn
xxaxxxФ
11
21
),...,,(, где
jiij
aa
.
Если
,2n
то квадратичная форма имеет вид
.2),(
2
2222112
2
11121
xaxxaxaxxФ (1.26)
Если
3n , то
.222),,(
322331132112
2
333
2
222
2
111321
xxaxxaxxaxaxaxaxxxФ
(1.27)
Определение 1.9.2. Матрица
2221
1211
aa
aa
A
, у которой ,
2112
aa
называется матрицей
квадратичной формы двух переменных в некотором базисе. Матрица
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
, у
которой ,3,2,1,3,2,1, jiaa
jiij
называется матрицей квадратичной формы трех
переменных ),,(
321
xxxФ в некотором базисе.
Аналогично можно определить матрицу квадратичной формы n переменных.
Пусть
n
xxx ,,,
21
– координаты вектора x из линейного пространства
L
в некотором
базисе. Если в качестве нового базиса взять совокупность собственных векторов линейного
оператора с матрицей A , то в таком базисе матрица A будет диагональной с собственными
значениями на главной диагонали:
n
A
0
0
2
1
, где
n
,...,,
21
– собственные значения.
Тогда в новом базисе квадратичная форма примет вид
,)(...)()(),...,,(
22
22
2
1121 nnn
xxxxxx
который называется каноническим видом квадратичной формы, где
n
xxx
,,,
21
–
координаты вектора
x
в новом базисе.

Страницы