Высшая математика. Анкилов А.В - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

50
Признак коллинеарности векторов. Необходимым и достаточным условием
коллинеарности ненулевых векторов
a и b является существование такого числа
,
которое удовлетворяет равенству
ab
, причем
a
b
.
Свойства линейных операций над векторами:
1. Коммутативность abba ;
2.
Ассоциативность
cbacba ;
3.
Дистрибутивность относительно суммы чисел
aaa
;
4.
Дистрибутивность относительно суммы векторов
baba
.
2.3. Линейная зависимость и линейная независимость векторов
Определение 2.3.1. Линейной комбинацией векторов
n
aaaa ,...,,,
321
называется сумма
nn
aaaa
...
332211
, где
n
,...,,,
321
– произвольные n чисел.
Определение 2.3.2. Совокупность векторов
n
aaaa ,...,,,
321
называется линейно
зависимой,
если существуют числа
n
,...,,,
321
из которых хотя бы одно отлично от нуля,
такие, что
0...
332211
nn
aaaa
или, что то же самое, если хотя бы один из
векторов может быть выражен как линейная комбинация остальных, т. е.
1
1332211
...
n
nn
aaaaa
. Если же 0...
332211
nn
aaaa
только при
0,...,0,0,0
321
n
, то векторы
n
aaaa ,...,,,
321
линейно независимы.
Теорема 2.3.1. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из
них раскладывается в линейную комбинацию остальных.
На основании теоремы 2.3.1. можно доказать следующие утверждения:
1.
Два геометрических вектора на плоскости линейно зависимы тогда и только тогда,
когда они коллинеарны.
2.
Три геометрических вектора в пространстве линейно зависимы тогда и только тогда,
когда они компланарны.
3.
Четыре геометрических вектора в пространстве всегда линейно зависимы.
2.4. Базис. Разложение по базису. Координаты вектора
Определение 2.4.1. Базисом на плоскости называется упорядоченная пара
неколлинеарных векторов
21
, ee .
Определение 2.4.2. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов
321
,, eee
называется базисом в пространстве.
Теорема 2.4.1. Любой вектор на плоскости (в пространстве) может быть представлен
как линейная комбинация базисных векторов, и такое представление единственно

3322112211
eeeaeea
.
Определение 2.4.3. Числа
32121
,, ,
в разложении
2211
eea

332211
eeea
называются координатами вектора
a
в базисе

32121
,, , eeeee .
Определение 2.4.4. Базис
321
,, eee называется ортонормированным, если его векторы
попарно перпендикулярны, и их длины равны 1.
В дальнейшем будем считать, что базис ортонормирован. Ортонормированный базис
обозначают
kji ,,.

Страницы