Высшая математика. Анкилов А.В - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

54
Положительным направлением отсчета угла
считается направление против часовой
стрелки. Числа
и
называются полярными координатами точки M:
0
– полярный
радиус,
– полярный угол.
Если полярный угол
брать в пределах
20
, то каждой точке плоскости, кроме
полюса, соответствует вполне определенная пара чисел
и
. Для полюса 0
,
–
произвольное.
Установим связь между полярными и прямоугольными декартовыми координатами на
плоскости. Пусть начало прямоугольной системы координат совпадает с полюсом, а
положительное направление оси Ox – с полярной
осью (рис. 2.7).
По рисунку видно, что прямоугольные
декартовые координаты связаны с полярными
соотношениями
sin,cos yx .
Выражая полярные координаты через декартовые,
получим
xyyx /tg,
22
.
Замечание. При нахождении угла
нужно учитывать в какой четверти находится
точка и брать соответствующее значение
.
2.7. Скалярное произведение векторов
Определение 2.7.1. Углом
между векторами a , b называется угол между
векторами, равными данным и имеющими общее начало.
Если не указано, от какого вектора и в каком направлении угол отсчитывается, то
углом между векторами считается тот из углов, который не превосходит
. Если угол
прямой, то векторы называются ортогональными.
Определение 2.7.2. Скалярным произведением векторов ba, называется число ba
или
),( ba , равное произведению длин векторов на косинус угла между ними:
cosbaba .
Свойства скалярного произведения:
1. abba ;
2.
0ba тогда и только тогда, когда векторы ортогональны;
3.
Для любых чисел
, и векторов cba ,, имеет место соотношение:
)()( cbcacba
(линейность скалярного произведения);
4.
2
aaa
.
Теорема 2.7.1. Если базис ортонормированный, то скалярное произведение векторов
выражается через их компоненты
};;{
321
aaaa
, };;{
321
bbbb по формуле
332211
babababa .
Следствия: 1. Модуль вектора вычисляется по формуле
2
3
2
2
2
1
aaaaaa
;
Рис. 2.7. Полярная и прямоугольная
декартова системы координат

Страницы