Высшая математика. Анкилов А.В - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

56
2.9. Векторное произведение векторов
Определение 2.9.1. Векторным произведением векторов ba, называется вектор c ,
удовлетворяющий условиям:
1.
sinbac
, где
есть величина угла между векторами.
2.
Вектор
c
перпендикулярен векторам ba,.
3.
Векторы cba ,, образуют правую тройку, т. е. из конца вектора c кратчайший
поворот от вектора
a
к вектору
b
виден против часовой стрелки. Обозначается:
bac
или
],[ bac .
Рис. 2.8. Геометрическая иллюстрация векторного произведения
Геометрическое приложение векторного произведения. Из определения вытекает,
что модуль векторного произведения неколлинеарных векторов численно равен площади
параллелограмма, построенного на сомножителях (если сомножители привести к общему
началу, рис. 2.8)
sin],[ babacS .
Механическое приложение векторного произведения. Пусть к точке A приложена
сила, определенная вектором
F
, тогда моментом силы
F
относительно точки О называется
векторное произведение
],[)( FrFM , где OAr – радиус-вектор точки A .
Свойства векторного произведения:
1. 0],[ ba тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны; в частности, 0],[ aa ;
2.
],[],[ abba (антикоммутативность векторного произведения);
3.
],[],[],[ cbcacba
(линейность векторного произведения).
Теорема 2.9.1. В ортонормированном базисе векторное произведение выражается через
компоненты сомножителей
};;{
321
aaaa , };;{
321
bbbb формулой
321
321
],[
bbb
aaa
kji
ba =
32
32
bb
aa
i
31
31
bb
aa
j
21
21
bb
aa
k
.
Пример 2.9.1. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах
qpa 32
и
qpb 2 , если 2|| p , 1|| q ,
qp,
=
3
.
Решение. Используя линейность и антикоммутативность векторного произведения,
получим
]2,32[],[ qpqpba =
],[2 pp
],[3 pq
],[4 qp ],[6 qq ],[7 pq
. Тогда
],[ ba = .,sin7
qpqp
Следовательно,
],[ ba =
3
sin127
= 37.
Ответ:
)(37 кв.ед.S .

Страницы