Высшая математика. Анкилов А.В - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

57
2.10. Смешанное произведение векторов
Определение 2.10.1. Смешанным произведением векторов cba ,, называется число,
равное скалярному произведению вектора
a на вектор ],[ cb . Обозначается: ),,( cba или
cba .
Геометрический смысл смешанного произведения. Модуль смешанного
произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного на векторах
cba ,, как
на сторонах (на рис. 2.9
413121
,, AAcAAbAAa
). Если векторы cba ,, образуют
правую тройку, то смешанное произведение
0),,( cba ; если левую, то 0),,( cba .
Свойства смешанного произведения:
1. ),,( cba = ),,( cab (антикоммутативность смешанного произведения);
2.
),,(),,(),,(
221112211
cbacbacbaa
(линейность смешанного произведения);
3. 0),,( cba тогда и только тогда, когда векторы компланарные.
Теорема 2.10.1. В ортонормированном базисе смешанное произведение выражается
через компоненты сомножителей
};;{
321
aaaa , };;{
321
bbbb ,
};;{
321
cccc
формулой
321
321
321
),,(
ccc
bbb
aaa
cba
.
Пример 2.10.1. Установить, компланарны ли векторы
}1;9;1{},3;1;1{},1;3;2{ cba .
Решение. Вычислим определитель третьего порядка, составленный из координат
векторов
cba ,,.
50101)4(3)26(2
91
11
1
11
31
3
19
31
2
191
311
132
.
0 , поэтому векторы cba ,, не компланарны.
Ответ:
cba ,, некомпланарные векторы.
Пример 2.10.2. Даны координаты точек )1;3;2(
1
A , )2;1;4(
2
A , )7;3;6(
3
A , )8;4;5(
4
A .
Найти:
1.
Длину ребер тетраэдра
4321
AAAA .
2.
Угол между ребрами
21
AA и
31
AA .
3.
Площадь грани
321
AAA .
4.
Объем тетраэдра
4321
AAAA .
5.
Высоту тетраэдра, опущенную из вершины
4
A на грань
321
AAA .
Решение.
1.
Для того чтобы найти длину ребер тетраэдра, найдем длины векторов,
соответствующих этим ребрам. Найдем координаты этих векторов.

Страницы