Высшая математика. Анкилов А.В - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

68
Определение 3.2.3. Линейное уравнение 0
DCzByAx называется общим
уравнением плоскости.
Общее уравнение получается из предыдущего уравнения после раскрытия скобок и
приведения подобных слагаемых, следовательно, коэффициенты уравнения есть координаты
нормального вектора
CBAn ,, .
Пример 3.2.1. Составить уравнение плоскости
, проходящей через точку )1;1;2(
А
перпендикулярно вектору
BC , если
)3;4;2(B
;
)6;6;3(
C
.
Решение. Найдем координаты вектора
BCn : }3;2;1{
n . Пусть
);;( zyxM
произвольная точка плоскости
, тогда векторы
A
M
и n – перпендикулярны.
Следовательно,
0 AMn или в координатной форме 0)1(3)1(2)2(1
zyx .
Преобразуя левую часть последнего равенства, получим 0332
zyx .
Ответ: уравнение искомой плоскости имеет вид 0332
zyx .
Определение 3.2.4. Уравнение вида
1
c
z
b
y
a
x
называется уравнением плоскости в
отрезках
(рис. 3.6).
Уравнением плоскости в отрезках получается из общего уравнения, если
коэффициенты
DCBA ,,, отличны от нуля и введены обозначения
C
D
c
B
D
b
A
D
a
,,.
Определение 3.2.5. Уравнение вида pnr
0
называется уравнением плоскости в
векторной форме
, где kzjyixr – радиус-вектор текущей точки плоскости

zyxM ,, ;
coscoscos
0
kjin
– единичный вектор, имеющий направление
перпендикуляра, опущенного на плоскость из начала координат;
,, – углы,
образованные этим перпендикуляром с осями координат
;,, OzOyOx
p
– длина этого
перпендикуляра.
Получим уравнение плоскости
, проходящей через три точки );;(
1111
zyxM ;
);;(
2222
zyxM ; );;(
3333
zyxM . Уравнение этой плоскости можно получить из условия
компланарности векторов
MMMMMM
13121
,, , где
);;( zyxM произвольная точка
плоскости
. Тогда координаты векторов равны:
};;{
12121221
zzyyxxMM ,
};;{
13131331
zzyyxxMM ,
};;{
1111
zzyyxxMM .
Рис. 3.6. К определению 3.2.4.
Рис. 3.5. К определению 3.2.2.

Страницы