Высшая математика. Анкилов А.В - 90 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

90
Глава 4. Введение в математический анализ
Математический анализ как единое и систематическое целое сложился в трудах
И. Ньютона, Г. Лейбница, Л. Эйлера, Ж. Лагранжа и других ученых 17 – 18 вв.; а его база –
теория пределов – была разработана О. Коши в начале 19 в. Глубокий анализ исходных
понятий математического анализа был связан с развитием в 19 – 20 вв. теории множеств,
теории меры, теории функций действительного переменного и привел к разнообразным
обобщениям.
4.1. Логическая символика
Под высказыванием понимается предложение, о котором можно сказать, что оно
истинно или ложно.
В дальнейшем мы будем использовать символы математической логики
,,,,,,,,
для обозначения соответственно отрицания «не», логических
связок «и» и «или», «существует», «для любого», «влечет», «равносильно», «стремится» и
«принадлежит». Вместо A используется также обозначение A .
Запись BA может быть прочитана одним из следующих способов: «из А следует В»,
«если А, то В», «А влечет В», «В есть необходимое условие для А», «А есть достаточное
условие для В» и означает, что из истинности высказывания А следует истинность
высказывания В. Отметим, что если А ложно, то независимо от В высказывание BA
считается истинным. Это отличает принятое в математике определение от житейского.
Доказательство утверждения BA состоит в построении цепочки следствий
BCCA
n
...
1
, каждый элемент которой является либо аксиомой, либо ранее
доказанным утверждением. В доказательствах далее будет использоваться классическое
правило вывода: если А истинно и BA , то В тоже истинно. Будет применяться также
метод доказательства от противного. Схема применения этого метода следующая. Пусть
требуется доказать высказывание А. Предполагают, что А ложно, и исходя из этого получают
два противоречащих друг другу высказывания: А и A. Отсюда делается вывод об
истинности А.
Запись BA можно прочитать любым из следующих способов: «А равносильно В»,
«А тогда и только тогда, когда В», «А необходимо и достаточно для В». Она означает, что
BA
и
AB
. Поэтому для доказательства утверждения
BA
нужно доказать, что
BA
и
AB
.
4.2. Множества
Множество – это набор некоторых объектов произвольной природы, объединенных по
каким-то общим для них признакам. Можно, например, говорить о множестве стульев в
аудитории, множестве букв алфавита, множестве чисел. Объекты, из которых состоит
множество, называются его элементами. Множество чаще всего обозначаются прописными
буквами латинского алфавита CBA ,, и т. д., элементы множества – строчными буквами
cba ,, и т. д.
Если объект «а» принадлежит множеству «А», то это записывается так:
Aa . Если же
«а» не является элементом множества «А», то записывается это так:
Aa
или Aa .
Множество можно задать двумя основными способами:
1.
Перечислив все его элементы.
Например:

8,5,4,2,1А означает, что множество A состоит из пяти элементов.

Страницы