Высшая математика. Анкилов А.В - 94 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

94
4.3. Последовательности. Предел последовательности
Пусть каждому числу n натурального ряда чисел 1, 2, 3,…, n,… ставится в соответствие
действительное число x
n
, т. е. x
1
, x
2
, x
3
,…, x
n
,….
Определение 4.3.1. Множество занумерованных чисел x
1
, x
2
, x
3
,…, x
n
,… называется
числовой последовательностью,
или просто последовательностью.
Числовую последовательность сокращенно будем обозначать символом

n
x , числа x
1
,
x
2
, x
3
,…, x
n
,… будем называть элементами, или членами последовательности, а число x
n
–
общим, или n-м членом последовательности.
Последовательность считается заданной, если указан способ получения любого ее
элемента.
Примеры числовых последовательностей:
1.
n
1
– последовательность
,...
1
,...,
3
1
,
2
1
,1
n
2.
n
2 – последовательность 2, 4, 8, 16,…,
n
2 , …
3.
n
)1( – последовательность –1, 1, –1, 1, –1,…
Приведенные числовые последовательности ведут себя по-разному: элементы первой –
«неограниченно» уменьшаются, оставаясь положительными; элементы второй –
увеличиваются, становясь больше любого положительного числа; элементы третьей –
принимают только два значения
+1 и –1.
Определение 4.3.2. Числовая последовательность называется ограниченной сверху
(
снизу), если существует число M (m) такое, что любой элемент x
n
этой последовательности
удовлетворяет неравенству )( mxMx
nn
.
Определение 4.3.3. Числовая последовательность называется ограниченной, если она
ограничена и сверху, и снизу.
Определение 4.3.4. Числовая последовательность называется:
возрастающей, если ......
321
n
xxxx ;
неубывающей, если ......
321
n
xxxx ;
убывающей, если ......
321
n
xxxx ;
невозрастающей, если ......
321
n
xxxx .
Все такие последовательности называются монотонными последовательностями.
Определение 4.3.5. Число a называется пределом последовательности

n
x , если для
любого положительного числа
, как бы мало оно ни было, существует такой номер
)(
NN , что для всех
n
x , с номерами
Nn
справедливы неравенства
axa
n
.
Неравенство
ax
n
, эквивалентное неравенствам
axa
n
, означает, что
все
n
x с номерами Nn расположены между
a и
a . Последовательность, предел
которой – конечное число a, называется сходящейся, и ее предел обозначают
ax
n
n
lim .

Страницы