ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
95
Если изобразить элементы последовательности
n
x на плоскости точками с координатами
),(
n
xn , то неравенства
axa
n
означают, что все точки ),(
n
xn с номерами n>N
расположены между параллельными оси абсцисс прямыми
a и
a .
Если предел последовательности не существует или бесконечен, то последовательность
называется расходящейся.
Пример 4.3.1. Сходящиеся последовательности
а)
n
n
x
1
10 , 1lim
n
n
x ; б)
n
x
n
n
)1(
1
, 1lim
n
n
x .
Определение 4.3.6. Последовательность
n
, предел которой равен нулю
0
n
lim
n
, называется бесконечно малой.
Пример 4.3.2. Бесконечно малые последовательности
а) ;
1
3
n
n
б)
2
)1(
2
n
n
n
.
Определение 4.3.7. Последовательность
n
называется бесконечно большой, если для
любого положительного числа M, как бы велико оно ни было, существует такой номер N, что
для всех
n
с номерами n>N справедливо неравенство
M
n
. Формально будем писать
n
n
lim
.
Пример 4.3.3. Бесконечно большая последовательность
а) ;
3
1
n
x
n
б)
2
)1(
n
n
x
n
n
.
Основные свойства сходящихся последовательностей
1. Если последовательность имеет предел, то он единственный.
2.
Для того чтобы последовательность
n
x имела предел
ax
n
lim
n
, необходимо и
достаточно, чтобы
nn
ax
, где
n
– бесконечно малая последовательность
0
n
lim
n
.
3.
Всякая сходящаяся последовательность является ограниченной.
4.
Всякая возрастающая и ограниченная сверху последовательность сходится. Всякая
убывающая и ограниченная снизу последовательность сходится.
5.
Пусть
n
x и
n
y – две сходящиеся последовательности, такие что
ax
n
n
lim
,
by
n
n
lim
. Тогда выполняются следующие утверждения:
а) последовательность
nn
yx будет сходящейся, причем
bayxyx
n
n
n
n
nn
n
limlimlim ;
б) последовательность
nn
yx также будет сходящейся, причем
bayxyx
n
n
n
n
nn
n
limlimlim .
Следствие. Пусть последовательность
n
x такая, что constcx
n
для n . Тогда
будут справедливы следующие предложения:
cc
n
lim
и
n
n
n
nn
n
n
ycycyс
limlimlimlim ,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 93
- 94
- 95
- 96
- 97
- …
- следующая ›
- последняя »
